Geometrijski pojem	Točka	Premica	Ravnina
Slika
Oznaka	velika tiskana črka	mala pisana črka	velika grška črka

Dve različni točki v ravnini določata natanko eno premico:

Točke, ki ležijo na isti premici, so kolinearne.

Če ima premica p z dano ravnino dve različni skupni točki, potem premica leži na ravnini:

Točke, ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne.

• Dve premici se sekata, ko imata le eno skupno točko, ki ji pravimo presečišče.
• Če premici nimata skupne točke, sta vzporedni. Dve premici sta vzporedni natanko takrat, ko ležita v isti ravnini in nimata skupne točke ali pa sovpadata. * Dve ravnini sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če sovpadata.
• Premica in ravnina sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali če premica leži v ravnini.
• Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada.

Osnovna merska enota, ki jo uporabljamo za merjenje razdalj v prostoru, je meter (oznaka m). Ostale enote pa so:

• 1 km = 1000 m
• 10 dm = 1 m
• 100 cm = 1 m
• 1000 mm = 1 m.

Med poljubnima dvema točkama A in B v prostoru lahko izmerimo razdaljo oziroma dolžino daljice AB, to je nenegativno realno število, ki ga označimo z d(A,B)=|AB|.

Lastnosti razdalje:

• d(A,B)≥0
• d(A,B)=0⇔A=B
• d(A,B)=d(B,A)
• Trikotniška neenakost: d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)

V ravnini si izberemo točko S (središče) in poljubno pozitivno število r (polmer). Potem velja:

• Krog je množica točk v ravnini, ki so največ za polmer oddaljene od središča.
• Krožnica je množica točk v ravnini, ki so za polmer oddaljene od središča.
• Notranjost kroga je množica točk, ki so za manj kot polmer oddaljene od središča.
• Zunanjost kroga je množica točk, ki so za več kot polmer oddaljene od središča.

S je središče kroga, r pa polmer ali radij.

Tetiva je daljica, ki veže dve točki na krožnici. Najdaljša tetiva poteka skozi središče kroga in jo imenujemo premer ali diameter:

Dolžina najdaljše tetive je ravno 2r ali d.

• KONVEKSNOST - vsaka množica točk v prostoru je konveksna, če hkrati z vsakima svojima točkama vsebuje tudi daljico, ki ju poveže. Primer:

  Pri drugi sliki daljica ne leži znotraj lika, zato lik ni konveksen.

• POLRAVNINA - premica p ravnino razdeli na dve polravnini:

  Premica p razdeli ravnino na dve polravnini.

• KOT - dva poltraka s skupnim izhodiščem razdelita ravnino na dva kota:

• TRIKOTNIK
  Tri nekolinearne točke A,B in C so oglišča trikotnika, α, β, γ notranji koti trikotnika, daljice AB, AC in BC pa stranice trikotnika. V trikotniku je dolžina vsake stranice manjša od vsote dolžin drugih dveh stranic.

  Velja c<a+b, a<b+c in b<a+c.

• ŠTIRIKOTNIK
  To je lik s štirimi oglišči in štirimi stranicami, po dve nasprotni oglišči pa povezuje diagonala.

  Ta štirikotnik je konveksen, kar pa pri štirikotnikih ni vedno nujno.

• VEČKOTNIKI
  N-kotnik ima n oglišč in n stranic, ki omejujejo večkotnik.

  Večkotniki.

Togi premik je taka preslikava ravnine nase, ki ohranja razdaljo: τ(A)=A′ in τ(B)=B′, d(A′B′)=d(AB). Lastnosti togih premikov:

• to je bijektivna preslikava ravnine nase,
• togi premik preslika premico in daljico na enako dolgo premico oziroma daljico.

Primeri togih premikov:

Vzporedni premik za vektor.	Zrcaljenje čez premico.
Zrcaljenje čez točko D.	Vrtenje okoli točke D.

△ABC=~△A′B′C′ - trikotnika sta skladna, če obstaja tak togi premik, ki en trikotnik preslika na drugega. Skladna trikotnika imata paroma skladne stranice in paroma skladne kote. Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata:

• v vseh treh stranicah,
• v dveh stranicah in kotu med njima,
• v eni stranici in obeh kotih ob njej,
• v dveh stranicah in kotu nasproti daljše stranice.

Kako načrtamo simetralo kota oziroma kot razdelimo na dva skladna dela:

Pri merjenju kotov uporabljamo enoto 1°[stopinje]. Manjše enote od stopinj so minute in sekunde, tako da je 1°=60′ in 1′=60′′.

• 90° meri pravi kot,
• 180° meri iztegnjeni kot,
• 360° meri polni kot.
  
• ostri kot - velikost kota med 0° in 90°,
• topi kot - velikost kota med 90° in 180°,
• suplementarna kota - njuna vsota je 180°,
• komplementarna kota - njuna vsota je 90°.

Zgledi

Koti α, β in γ so notranji koti trikotnika, α′, β′ in γ′ pa zunanji koti trikotnika. Vsota notranjih kotov v trikotniku je enaka 180°, vsota zunanjih kotov pa 360°.

Zunanji kot je enak vsoti nepriležnih notranjih kotov, zato velja α′=β+γ, β′=α+γ in γ′=α+β.

• Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360°,
• vsota notranjih kotov n-kotnika je (n−2)180°,
• vsota zunanjih kotov n-kotnika je 360°,
• vsak notranji kot pravilnega n-kotnika pa meri n(n−2)·180°.

ENAKOKRAKI TRIKOTNIK

Za enakokraki trikotnik je značilno, da sta dve stranici enako dolgi, ti dve stranici imenujemo kraka, tretjo stranico pa osnovnica. Kota ob osnovnica sta enaka, simetrala osnovnice pa razpolavlja kot ob vrhu trikotnika. Trikotnika △ADC in △BDC sta skladna, saj velja, da sta dva trikotnika skladna takrat, ko se ujemata v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti večje od stranic.

ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK

Za enakostranični trikotnik je značilno, da ima vse tri stranice in vse tri kote enake.

V splošnem v trikotniku leži nasproti daljše stranice večji kot in večjemu kotu nasproti daljša stranica.

PARALELOGRAM

To je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic, nasprotni stranici sta enako dolgi, nasprotna kota skladna, sosedna pa suplementarna. Poljuben štirikotnik je paralelogram takrat, ko se diagonali razpolavljata in sta vsaki dve nasprotni stranici skladni.

TRAPEZ

To je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic, stranici a in c sta osnovnici, b in d pa kraka. Vsota nasprotnih kotov je enaka 180°.

Pravokotni trikotnik je s katetama a in b natančno določen. Dolžina hipotenuze je odvisna le od dolžine katet in velja Pitagorov izrek:

Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet:

Če je hipotenuza c, kateti pa a in b, velja c2=a2+b2.

Zgled

Pravokotno projekcijo dobimo tako, da točke ravnine projiciramo na dano premico in te točke so najbližje prvotnim točkam. To naredimo tako, da skozi točko načrtamo pravokotnico na premico. V tabeli si oglejte pravokotno projekcijo točke na premico in pravokotno projekcijo daljice na premico:

Točka A′ je pravokotna projekcija točke A na premico p.	Daljica A′B′ je pravokotna projekcija daljice AB na premico p.

Zgled: V koordinatnem sistemu imamo točki A(−2,1) in B(4,−1). Kolikšna je dolžina pravokotne projekcije na os x daljice AB?
Rešitev

Pravokotna projekcija na os x da točki C in D.

Pravokotna projekcija točke A na os x je točka C(−2,0), točke B pa D(4,0). Zato je treba izračunati dolžino daljice CD, ki je enaka: d(C,D)=√(4+2)2+(0+0)2=√62=√36=6 . Dolžina pravokotne projekcije daljice AB na os x je enaka 6.

Višinsko točko in težišče trikotnika ste spoznali že pri lastnostih trikotnika. Drugi dve pomembni točki pa sta središče trikotniku očrtanega kroga in središče trikotniku včrtanega kroga.

SREDIŠČE TRIKOTNIKU OČRTANEGA KROGA je presečišče simetral stranic.

Stranicam trikotnika načrtamo simetrale, kjer se sekajo je središče trikotniku očrtanega kroga.

SREDIŠČE TRIKOTNIKU VČRTANEGA KROGA je presečišče simetral kotov.

Kotom trikotnika načrtamo simetrale, kjer se sekajo je središče trikotniku včrtanega kroga.
Polmer je pravokoten na stranice in gre skozi središče kroga.

Okoli negibne točke O na ravnini želimo zavrteti točko A za kot α. To storimo tako, da povežemo točki O in A in načrtamo kot α. Na loku, pri kotu α leži točka A′:

Vrtenje ohranja razdalje, zato velja |OA|=|OA′|.

Okoli točke lahko vrtimo v pozitivni

ali negativni smeri

Dogovor je, da je vrtenje v pozitivni smeri vrtenje za pozitiven kot, v negativni smeri pa za negativen kot.

Zavrtimo točko A okoli točke O še za 180°:

Točka O razpolavlja daljico AA′.

Tako vrtenje kot zrcaljenje čez točko sta toga premika.

Središčni kot je kot z vrhom v središču kroga. Del krožnice, ki leži v kotu, je krožni lok, ki pripada danemu središčnemu krogu:

Če merimo kot α v stopinjah, se dolžina krožnega loka izračuna po obrazcu

Ker pa je obseg kroga enak 2πr, je dolžina loka

Če merimo kot α v radianih, se dolžina krožnega loka izračuna kot

Kot v polkrogu je tak kot, ki ima vrh na krožnici, njegova kraka pa potekata skozi krajišči premera. To je pravi kot. S premikanjem točke C preverite, da je kot res vedno enak 90°.

Geogebra datoteka

Konstrukcija tangente na dano krožnico iz dane točke v zunanjosti kroga:

• načrtamo daljico ST,
• narišemo krožnico s središčem v razpolovišču daljice ST in polmerom 2ST,
• dotikališče tangente je presečišče te krožnice z dano krožnico,
• povežemo dano točko z dotikališčem in dobimo tangento,
• dobimo dve rešitvi.

Središčni kot je kot z vrhom v središču kroga. Kot, ki ima vrh na krožnici in izreže iz krožnice dani lok, pa je obodni kot.

Geogebra datoteka

α... središčni kot
β... obodni kot
l... krožni lok
Nad izbranim lokom je en sam središčni kot in nešteto obodnih kotov. Preverite to trditev s premikanjem točke C.

Vsi obodni koti nad istim lokom so enako veliki, velja α=2β, obodni kot je enak polovici središčnega kota nad istim lokom. Preverite to trditev s premikanjem točke A ali B.

Štirikotnik je tangenten, če njegove stranice ležijo na tangentah nekega kroga. To pomeni, da mu lahko včrtamo krog. Štirikotnik je tetiven, če so njegove stranice tetive nekega kroga. To pomeni, da mu lahko očrtamo krog.

Tangentni štirikotnik	Tetivni štirikotnik
Velja a+c=b+d	Velja α+γ=β+δ
Primeri: kvadrat, romb, deltoid.	Primeri: kvadrat, pravokotnik, romb.

Dva trikotnika sta podobna, če imata enake kote. Podobnost trikotnikov označimo kot △ABC ~ △A′B′C′ in pomeni, da je kot pri oglišču A skladen s kotom pri oglišču A′, kot pri oglišču B s kotom pri oglišču B′ in kot pri oglišču C s kotom pri oglišču C′.

Podobna si trikotnika.

Razmerje stranic podobnih trikotnikov je koeficient podobnosti in velja

Za stranice velja tudi

IZREK O PODOBNIH TRIKOTNIKIH
Dva trikotnika sta podobna, če:

• se ujemata v dveh kotih,
• se ujemata v razmerju po enakoležnih stranicah (a:b:c=a′:b′:c′),
• se ujemata v enem kotu in razmerju stranic, ki ta kot oklepata.