Potence dvočlenika
Kvadrat in kub dvočlenika znamo izračunati. Z računalnikom izračunajte še višje potence dvočlenika.
Oglejmo si, kako si z računalnikom pomagamo pri računanju kuba dvočlenika.
Vnesemo izraz . Do strešice (znaka za potenciranje) boste prišli, če boste sočasno pritisnili na tipki AltGr in 3, nato pa preslednico ali pa da kliknete na peti gumb v zgornji vrsti desne orodjarne, ki je na dnu zaslona.
Potence dvočlenika
Še enkrat poskusi.
Potence dvočlenika
Poglejmo, kako bi koeficiente, ki nastopajo pri razvoju potence binoma, kar se da hitro izračunali.
Izpolnite spodnjo tabelo. Nadaljujte, kot kaže zgled:
| eksponent | izračunana potenca binoma | koeficienti |
Potence dvočlenika
Potence računajte z računalnikom in v tabelo vpisujte le koeficiente, tako da bo nastal trikotnik.
Potence dvočlenika
Še enkrat poskusi.
Če seštejemo in element v vrstici, dobimo element v naslednji vrstici.
Pascalov trikotnik
Shema števil, ki smo jih zapisali v trikotno obliko, se imenuje Pascalov trikotnik, števila pa so binomski koeficienti. Zgodovinarji domnevajo, da so to shemo poznali že v stari kitajski in indijski civilizaciji. Prvi, ki jo je obravnaval in našel mnoge njene lastnosti, je bil francoski matematik 17. stoletja Blaise Pascal.
Sedaj si bomo ogledali nekaj lastnosti tega trikotnika.
Prvih 10 vrstic Pascalovega trikotnika
Naloge
1. naloga: Predstavljajmo si navpično premico, ki razpolavlja Pascalov trikotnik. Primerjajmo obe polovički. Ugotovimo, da je trikotnik glede na dano premico.
2. naloga: Izračunajte vsoto binomskih koeficientov v posamezni vrstici:
| eksponent | vsota binomskih koeficientov |
Vsota binomskih koeficientov v razvoju potence dvočlenika , pri čemer je naravno število, je
Še enkrat poskusi.
Ugotovimo, da je trikotnik simetričen glede na dano premico.
| eksponent | vsota binomskih koeficientov |
Vsota binomskih koeficientov v razvoju potence dvočlenika , pri čemer je naravno število, je .
Pascalov trikotnik-naloge
3. naloga: Katero število je v vrstici Pascalovega trikotnika na drugem mestu od desne?
Odgovor: Število .
4. naloga: Koliko števil je v vrstici?
Odgovor: Število .
5. naloga: Kolikokrat se pojavi število v prvih vrsticah?
Odgovor: Število .
Še enkrat poskusi.
3.)
4.)
5.)
Pascalov trikotnik-naloge
6. naloga: Izračunajte vsoto števil, ki so v posamezni vrstici na lihih oziroma sodih mestih in rešitve zapišite v tabelo:
| eksponent | vsota števil na lihih mestih | vsota števil na sodih mestih |
Poskusi še enkrat.
| eksponent | vsota števil na lihih mestih | vsota števil na sodih mestih |
Pascalov trikotnik-naloge
7. naloga: S Pascalovim trikotnikom si lahko pomagamo tudi pri računanju vsote prvih zaporednih naravnih števil, pri čemer je dano število.
| število členov | vsota | |
Dobljene rezultate primerjajte s števili, ki nastopajo v Pascalovem trikotniku. Kje najdete vsoto prvih števil?
Še enkrat poskusi.
| število členov | vsota | |
Vsote prvih števil so zapisane v tretjem poševnem stolpcu Pascalovega trikotnika. Prvo število v tem stolpcu je vsota prvega naravnega števila, drugo število je vsota prvih dveh naravnih števil, tretje vsota prvih treh,...
Pascalov trikotnik-naloge
Da lastnosti, ki ste jo pravkar ugotovili, ne bi pozabili, v Pascalovem trikotniku z eno krivuljo obkrožite na primer števila , , , , (nahajajo se v drugem poševnem stolpcu) in njihovo vsoto (v tretjem poševnem stolpcu). Primer je predstavljen spodaj s sliko. Na enak način pokažite, kolkšna je vsota prvih naravnih števil.
Frnikule
8. naloga: Poigrajmo se s frnikulami (ali pa z enako velikimi kovanci, če frnikule uhajajo). Sestavljajmo z njimi trikotnike, kot kaže slika.
Koliko frnikul potrebujemo za posamezni trikotnik?
| trikotnik | število frnikul |
Še enkrat poskusi.
| trikotnik | število frnikul |
Frnikule
Števila, ki ste jih dobili v desnem stolpcu, se imenujejo trikotniška števila in jih tudi najdemo v Pascalovem trikotniku. Ime jim je dal Pitagora (580 - 500 p.n.š.). Upoštevajte ugotovitve iz prejšnje točke in dopolnite stavek:
Trikotniško število je
Izračunajte vsoto katerihkoli dveh sosednjih trikotniških števil. Kaj opazite?
^
Od mnogih lastnosti trikotniških števil omenimo le še eno, ki jo je odkril Fermat (1601 - 1665) in dokazal Gauss: vsako naravno število se da zapisati kot vsota enega, dveh ali največ treh trikotniških števil.
Še enkrat poskusi.
Trikotniško število je vsota prvih zaporednih naravnih števil.
Trikotniki
9. Naloga: Trikotnike, ki smo jih sestavili, lahko polagamo drug na drugega in sestavljamo tetraedre. Zopet bomo preštevali frnikule v posameznem tetraedru. S označimo tetraeder sestavljen iz prvih trikotnikov.
| tetraeder | število frnikul |
Zgodba se zopet ponovi. Števila, ki ste jih zapisali v desnem stolpcu, so, kot ste že pričakovali, tudi v Pascalovem trikotniku. Imenujejo se tetraederska števila. Dobili smo jih s seštevanjem trikotniških števil. Vsota zaporednih trikotniških števil je enaka tetraederskemu številu. Tako kot v prejšnji nalogi, tudi tu obkrožite z eno krivuljo nekaj prvih zaporednih trikotniških števil in njihovo vsoto.
Še enkrat poskusi.
| tetraeder | število frnikul |
Trikotniki
Namesto s frnikulami sestavite tetraeder s kozarci? Za vajo bodo dobri plastični, da ne bo preveč črepinj. Premera zgornje in spodnje ploskve naj bosta čimbolj enaka. Če boste v zgornji kozarec natakali tekočino, se bo ta lepo prelivala v vse ostale.
Koliko plasti kozarcev bo v tetraedru, če pričakujete na zabavi gostov?
Koliko kozarcev bo v spodnjem trikotniku?
Še enkrat poskusi.
plasti kozarcev in kozarcev v spodnjem trikotniku.
Naloge
10. naloga: V Pascalovem trikotniku si izberite poljubno število. Obkrožite ga s šestkotnikom, ki ima oglišča v sosednjih številih. Izberimo na primer število . Oglišča šestkotnika naj bodo v , , , , , , . Izračunajte produkt števil v ogliščih šestkotnika. Naredite to za nekaj števil.
| izbrano število | produkt |
Kakšno lastnost produktov opazite?
Produkt števil, ki so v ogliščih šestkotnika je kvadrat.
Produkt števil, ki so v ogliščih šestkotnika je popoln kvadrat.
Naloge
11. naloga: Narišite enakostranični trikotnik. Vsako od stranic razdelite na 20 delov. Povežite vse delilne točke med sabo. V nastale trikotnike vpišite števila Pascalovega trikotnika. Dobljeno sliko boste pobarvali. Pobarvajte vse trikotnike, v katerih so števila, ki so deljiva z . Dobili boste prav lep vzorček, ki ga bomo imenovali fraktal. Ta bo odskočna deska za mnoga razglabljanja, s katerimi se bomo kasneje ukvarjali. Ali dobimo tak vzorček le z barvanjem sodih števil? Narišite nov trikotnik in pobarvajte števila deljiva s , s ali s . Tisti z nekaj programerske žilice boste morda sestavili program, ki bo tak vzorec narisal.
