Binomski izrek kot zanimivost obravnavamo že v prvem ali drugem letniku pri obravnavi potenc. Utrjujemo ga pri računanju s koreni (potenca binoma, katerega člena sta iracionalni števili), podobno pri kompleksnih številih. Tako v četrtem letniku že znani izrek hitreje ponovimo in bolj poglobljeno obravnavamo.

Reševanja prvega dela se lotimo z uporabo programa Derive. Za raziskovanje lastnosti Pascalovega trikotnika potrebujemo žepni računalnik.

Kvadrat in kub dvočlenika znamo izračunati. Z računalnikom izračunajmo še višje potence dvočlenika.

Oglejmo si, kako si s programom Derive pomagamo pri računanju kuba dvočlenika.

Vnesemo izraz  (a + b)^3  . Do strešice (znaka za potenciranje) pridemo, če sočasno pritisnemo na tipki  AltGr  in  3  , nato pa preslednico ali pa da klikneš na peti gumb v zgornji vrsti desne orodjarne, ki je na dnu zaslona.

• Potrdimo vnos s pritiskom na  Enter  .
• Izberemo ukaz  Simplify/Expand  in kliknemo na gumb  Expand  .

Izpiše se razširjen izraz kuba dvočlenika.

S pomočjo programa Derive razširi naslednje izraze.

Preveri

Poglejmo, kako bi koeficiente, ki nastopajo pri razvoju potence binoma, kar se da hitro izračunali.

Izpolni spodnjo tabelo. Potence računaj s programom Derive in v tabelo vpisuj le koeficiente, tako da bo nastal trikotnik. Bi znal brez pomoči programa Derive izpolniti zadnjo vrstico? Poskušaj najti pravilo, po katerem se tvori trikotnik. Namig

Preveri

Shema števil, ki smo jih zapisali v trikotno obliko, se imenuje Pascalov trikotnik, števila pa so binomski koeficienti. Zgodovinarji domnevajo, da so to shemo poznali že v stari kitajski in indijski civilizaciji. Prvi, ki jo je obravnaval in našel mnoge njene lastnosti, je bil francoski matematik 17. stoletja Blaise Pascal.

Sedaj si bomo ogledali nekaj lastnosti tega trikotnika.

Reši spodnji nalogi. V pomoč imaš prvih 10 vrstic Pascalovega trikotnika.

Preveri

Katero število je v 2000. vrstici Pascalovega trikotnika na drugem mestu od desne?

Koliko števil je v 2000. vrstici?

Kolikokrat se pojavi število 1 v prvih 2000 vrsticah?

Preveri

S Pascalovim trikotnikom si lahko pomagamo tudi pri računanju vsote prvih zaporednih naravnih števil, pri čemer je dano število.

Dobljene rezultate primerjaj s števili, ki nastopajo v Pascalovem trikotniku. Kje najdeš vsoto prvih števil?

Vsote prvih števil so zapisane v tretjem četrtem petem poševnem stolpcu Pascalovega trikotnika. Prvo število v tem stolpcu je vsota prvega naravnega števila prvih dveh naravnih števil nobenega naravnega števila , drugo število je vsota prvega naravnega števila prvih dveh naravnih števil prvih treh naravnih števil , tretje vsota prvega naravnega števila prvih dveh naravnih števil prvih treh naravnih števil , itn.

Do te lastnosti v Pascalovem trikotniku prideš, če z eno krivuljo obkrožiš na primer števila 1, 2, 3, 4, 5 (nahajajo se v drugem poševnem stolpcu) in njihovo vsoto (v tretjem poševnem stolpcu), kot kaže primer. Znaš na enak način priti do vsote prvih 9 naravnih števil?

Odgovor: Vsota prvih 9 naravnih števil je 28 36 45

Preveri

Poigrajmo se s frnikulami (ali pa z enako velikimi kovanci, če frnikule uhajajo). Sestavljajmo z njimi trikotnike, kot kaže slika.

Koliko frnikul potrebujemo za posamezni trikotnik?

Preveri

Trikotnike, ki smo jih sestavili, lahko polagamo drug na drugega in sestavljamo tetraedre. Zopet bomo preštevali frnikule v posameznem tetraedru. S označimo tetraeder sestavljen iz prvih trikotnikov.

Zgodba se zopet ponovi. Števila, ki si jih zapisal v desnem stolpcu, so, kot si že pričakoval, tudi v Pascalovem trikotniku. Imenujejo se tetraedrska števila. Dobili smo jih s seštevanjem trikotniških števil. Vsota zaporednih trikotniških števil je enaka tetraedrskemu številu. Tako kot v prejšnji nalogi, tudi tu obkrožiš z eno krivuljo nekaj prvih zaporednih trikotniških števil in njihovo vsoto.

Namesto s frnikulami sestavi tetraeder s kozarci. Za vajo bodo dobri plastični, da ne bo preveč črepinj. Premera zgornje in spodnje ploskve naj bosta čimbolj enaka. Če boš v zgornji kozarec natakal tekočino, se bo ta lepo prelivala v vse ostale.

Preveri

Poglejmo še nekaj lastnosti Pascalovega trikotnika. V Pascalovem trikotniku si izberi poljubno število. Obkroži ga s šestkotnikom, ki ima oglišča v sosednjih številih. Izberimo na primer število . Oglišča šestkotnika naj bodo v , , , , , , . Izračunaj produkt števil v ogliščih šestkotnika. Naredi to za nekaj števil. V pomoč imaš prvih 10 vrstic Pascalovega trikotnika.

Kakšno lastnost produktov opaziš?

Produkt števil, ki so v ogliščih šestkotnika je kvadrat.
Preveri

Nariši enakostranični trikotnik. Vsako od stranic razdelite na delov. Povežite vse delilne točke med sabo. V nastale trikotnike vpišite števila Pascalovega trikotnika. Dobljeno sliko boste pobarvali. Pobarvajte vse trikotnike, v katerih so števila, ki so deljiva z . Dobili boste prav lep vzorček, ki ga bomo imenovali fraktal. Ta bo odskočna deska za mnoga razglabljanja, s katerimi se bomo kasneje ukvarjali. Ali dobimo tak vzorček le z barvanjem sodih števil? Narišite nov trikotnik in pobarvajte števila deljiva s , s ali s . Tisti z nekaj programerske žilice boste morda sestavili program, ki bo tak vzorec narisal.