Telo, ki ga omejujejo same ravne ploskve, imenujemo oglato telo ali polieder. Večkotnike, ki omejujejo polieder, imenujemo mejne ploskve. Skupek ploščin mejnih ploskev je površina telesa. Po dve mejni ploskvi se stikata v robu. Robovi telesa so daljice, njihova krajišča pa oglišča telesa.

Primer prizme.

Prizma je oglato telo, omejeno z dvema vzporednima, skladnima si n-kotnikoma in z n-paralelogrami.
Osnovni ploskvi prizme sta vzporedna n-kotnika.
Plašč prizme sestavlja n-paralelogramov.
Osnovni robovi so stranice osnovnih ploskev.
Stranski robovi so vsi ostali robovi.
Višina prizme je razdalja med osnovnima ploskvama.

1. Telesna diagonala kocke meri . Koliko meri površina kocke?

Telesno diagonalo kocke lahko izračunamo s pomočjo telesne diagonale kvadra, le da so pri kocki vsi robovi enaki. Ker je telesna diagonala kvadra enaka , je telesna diagonala kocke . Sedaj lahko izračunamo osnovni rob kocke, , iz tega pa površino kocke.



Površina kocke:


.

2. Koliko meri površina pokončne prizme s ploščino osnovne ploskve , obsegom osnovne ploskve in višino ?

Površina katerekoli pokončne prizme se izračuna z obrazcem oziroma . Dane podatke vstavimo v enačbo in dobimo
.

3. Janova soba s površino ima dolžino, širino in višino v razmerju . Kakšne so dimenzije Janove sobe?

Ker gre za razmerje med dolžino, širino in višino, lahko zapišemo:



Iz obrazca za površino izračunamo:





Površina je znana, zato jo vstavimo v zgornjo enačbo in dobimo:



Ker pa dimenzije sobe ne morejo biti negativne, je pravilen rezultat .
Dolžina Janove sobe je , širina in višina .

1. Koliko meri prostornina pokončne tristrane prizme s stranicami trikotnika , , in višino ?

Prostornino prizme izračunamo z obrazcem , kjer je ploščina osnovne ploskve, pa višina prizme. Ploščina trikotnika, če poznamo vse tri stranice, je , kjer je .
.
.

2. V posodicah v obliki kvadra je črnilo. Koliko posodic lahko napolnijo z črnila, če so posodice dimezij x x ?

Izračunati je potrebno najprej prostornino ene posodice:

, zato lahko napolnijo posodic.

Mreža valja

Površina valja je seštevek ploščin osnovnih ploskev in plašča:

Ploščina osnovne ploskve valja je ploščina kroga, plašč pa je pravokotnik s stranicama - obseg kroga in - višina kroga. Zato je površina valja:

Prostornina valja je produkt ploščine osnovne ploskve in višine:

Izsek valja

Na obeh osnovnih ploskvah valja vzamemo krožni izsek s središčnim kotom in mejne točke povežemo med seboj. Dobim krožni izsek valja, prostornina tega izseka pa je odvisna od kota. Če je kot podan v stopinjah je prostornina:

Če je kot podan v radiani pa je prostornina:

1. Koliko merita površina in volumen valja z višino in polmerom ?

2. Koliko pločevine je potrebno za izdelavo valjastega rezervoarja, ki ima višino in prostornino , njegov osni presek pa je kvadrat?

Ker je osni presek valja kvadrat, je valj enakostraničen. Prostornina enakostraničnega valja pa je . Iz znanih podatkov izračunamo polmer.



Površina enakostraničnega valja je . Ker poznamo polmer, jo lahko izračunamo.

.
Za izdelavo valjastega rezervoarja je potrebno pločevine.

Pokončna piramida je piramida, ki ima vse stranske robove enako dolge.

Pravilna piramida je piramida, ki je pokončna in ima za osnovno ploskev pravilen n-kotnik. Potem so stranske ploskve med seboj enaki enakokraki trikotniki.

Tetraeder je pravilna tristrana piramida, ki ima vse robove enako dolge, zato površino tetraedra sestavljajo 4 enakostranični trikotniki:

Oktaeder je telo, ki ga sestavljata dve, skupaj sestavljeni 4-strani piramidi, ki imata vse robove enako dolge. Površino oktaedra sestavlja 8 trikotnikov:

1. Osnovni rob pravilne 4-strane piramide meri , višina piramide pa . Koliko meri ploščina osnovne ploskve in površina piramide?

Ploščina osnovne ploskve je ploščina kvadrata. Ploščina kvadrata s stranico je . Za površino piramide, ki se izračuna po obrazcu pa potrebujemo še ploščino plašča. Plašč je sestavljen iz štirih enakokrakih trikotnikov. Iz podane višine piramide lahko izračunamo višino trikotnika, ki jo potrebujemo za izračun ploščine trikotnika. Lažje si predstavljamo, če piramido skiciramo:

S pomočjo Pitagorovega izreka izračunamo :




Površina pravilne 4-strane piramide je:



.

2. Koliko meri prostornina piramide z višino in s ploščino osnovne ploskve ?

Prostornina piramide se izračuna z obrazcem . Podano imamo tako ploščino osnovne ploskve kot tudi višino, zato je enostavno izračunati prostornino, paziti moramo le na enote. Zato pretvorimo decimetre v centimetre.
. Sedaj lahko izračunamo prostornino piramide:
.

Stožec

Stožec je geometrijsko telo z osnovno ploskvijo krogom in vrhom .

Osnovna ploskev stožca je krog.
Polmer stožca je polmer osnovne ploskve.
Stranice stožca so daljice od roba osnovne ploskve do vrha stožca.
Plašč stožca sestavljajo vse stranice stožca.
Višina stožca je razdalja med osnovno ploskvijo in vrhom stožca.

Osni presek stožca je enakokraki trikotnik s stranicami in :

Stožec je enakostraničen, če je njegov osni presek enakostranični trikotnik. Velja .

1. Koliko meri kot med stranico in osnovno ploskvijo stožca, če meri polmer osnovne ploskve in stranica ?

Najlažje si predstavljamo, če narišemo skico:

Kot med stranico in osnovno ploskvijo stožca lahko izračunamo z uporabo kotne funkcije kosinus.


.

2. Koliko merita površina in prostornina stožca s polmerom osnovne ploskve in stranico ? Rezultat naj bo točen.

Ker je zahtevan točen rezultat, bomo v rezultatu pustili . Površina stožca:



Prostornina stožca:

Površina krogle je enaka površini plašča enakostraničnega valja. Ker je površina plašča pri enakostraničnem valju enaka , višina pa je enaka premeru kroga, je površina plašča enakostraničnega valja . Površina krogle s polmerom se izračuna z obrazcem

Prostornina krogle je enaka dvema tretjinama prostornine enakostraničnega valja. Ker je prostornina enakostraničnega valja enaka , višina enakostraničnega valja pa je enaka premeru kroga, je prostornina enakostraničnega valja . Prostornina krogle s polmerom se izračuna z obrazcem

1. Če krogli povečamo polmer za %, za koliko odstotkov se poveča površina?

Novi polmer je , saj je za % večji od prvotnega. Zato v obrazec za površino vstavimo novi polmer:


Že tu lahko vidimo, da je nova površina pomnožena z , zato je večja za % od prvotne.

2. Razdalja središč krogel, ki se dotikata od zunaj, je . Skupna površina krogel je . Koliko merita polmera obeh krogel?

Iz podatkov lahko ugotovimo:


Ker je vsota polmerov krogel , velja .






ali .
Dobili smo dve rešitvi za drugi polmer. Ker je skupen polmer , je en polmer , drug pa .

3. Koliko meri skupen volumen krogel iz prejšnje naloge?





.