V vsakdanjem življenju se pogosto srečujemo z večkotniki. Poglejmo nekaj primerov.

Vzorec iz štirikotnikov

Vzorec iz barvnih večkotnikov

Zgradba gvanina – gradnika DNK

Kemijska formula benzena

Kako bi opisali like, ki se pojavljajo na zgornjih slikah? Dogovorimo se najprej, kaj je lomljenka.

Lomljena črta (ali lomljenka) je krivulja, sestavljena iz dveh ali več med seboj povezanih daljic. Poglejmo nekaj primerov.

Nesklenjena, enostavna

Nesklenjena, neenostavna

Sklenjena, enostavna

Sklenjena, neenostavna

Na sliki spodaj je narisan večkotnik.

Sedemkotnik

Točke $P_1,P_2, \dots P7$ so oglišča večkotnika. Daljice, ki povezujejo dve sosednji oglišči ($P_1P_2 , P_2P_3, \dots$) so stranice večkotnika. Daljice, ki povezujejo nesosedna oglišča ($P_1P_6,P_2P_6,\dots$), so diagonale večkotnika. Stranici sta sosednji, če imata skupno oglišče. Dve sosednji stranici določata notranji kot ($\alpha,\ \beta, \dots$). Sokoti notranjih kotov so zunanji koti ($\alpha )´,\ \beta ´, \dots$).

Večkotnik poimenujemo glede na število oglišč (stranic, notranjih kotov, zunanjih kotov). Trikotnik ima 3 oglišča, stranice, notranje in zunanje kote, dvanajstkotnik ima dvanajst oglišč, stranic, notranjih in zunanjih kotov, $n$-kotnik ima $n$ oglišč, $n$ stranic, $n$ notranjih in $n$ zunanjih kotov.

Na animaciji opazuj, kako lahko narišemo šestkotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse notranje kote skladne. Pravimo mu pravilni šestkotnik. Animacijo lahko kadar koli prekineš ali ponovno poženeš tako, da klikneš nanjo.

Opišimo še potek konstrukcije. Najprej narišemo krožnico s poljubnim polmerom (označimo ga recimo z $r$). Nato si na krožnici izberemo poljubno točko (označimo jo s $P_1$). To bo prvo oglišče šestkotnika. Nato narišemo krožnico s središčem v izbrani točki $P_1$ in z istim polmerom $r$. Presečišče prve in druge krožnice je oglišče $P_2$. Postopek nadaljujemo. Narišemo krožnico s središčem v točki $P-2$ s polmerom $r$. Presečišče prve krožnice z narisano krožnico je oglišče $P_3$. Na enak način dobimo oglišča $P_4$, $P_5$ in $P-6$.

Kolikšen mora biti polmer prve krožnice (označili smo ga z $r$), da bo stranica šestkotnika dolga $1$ cm?

Spomnimo se, kdaj rečemo, da je množica točk v ravnini konveksna. Povedali smo, da je množica točk v ravnini konveksna, če za poljubni dve točki $A$ in $B$ iz te množice velja, da je daljica $AB$ njena podmnožica.

Na sliki imamo dva šestkotnika.

Eden izmed šestkotnikov je konveksen.

Dopolni

Konveksen je šestkotnik z oznako $A$. $B$.

Poglejmo primera večkotnikov, enemu pravimo pentagram, drugemu pa pentagon (ali pravilni petkotnik). Eden je konveksen, druga pa ni. Poglej slike, nato pa sam ugotovi, kateri je konveksen, kateri pa ni.

Da Vincijeva študija telesa

Pentagram čez študijo

Slika iz filma Da Vincijeva šifra

Zvezde v zastavi so pentagrami

Prijemalka v obliki pentagona

Zgradba Pentagon v ZDA

Odgovori

1. Pentagon je konveksen lik.

Napačno. Pravilno.

2. Pentagram je konveksen lik.

Napačno. Pravilno.

Poskusi konstruirati pentagram.

Na sliki je že narisan pravilni petkotnik (petkotnik, ki ima vseh pet stranic enako dolgih). Nariši pentagram! Pri tem imaš na voljo gumbe v zgornji vrstici. S prvim gumbom narišeš točko. Gumb izbereš tako, da klikneš nanj, točko pa narišeš tako, da klikneš na risalno površino. Z drugim gumbom narišeš daljico. Ko ga izbereš, narišeš daljico tako, da označiš obe oglišči daljice. Z zadnjim gumbom rišemo večkotnike. Izbrati moramo vsa oglišča večkotnika (kot bi povezovali oglišča med seboj z ravnilom), zadnje oglišče je tisto, s katerim smo začeli. Če rišeš štirikotnik $ABCD$, moraš klikniti na točke $A,\ B,\ C,\ D$, nato pa spet na $A$.

Ko bo naloga rešena, boš o tem obveščen.

Preveri trditev na primeru. Pomikaj s pomočjo drsnika levo zgoraj točko $P_6$. Opazuj napis ob liku desno. Ko so oglišča na različnih bregovih nosilke stranice $P_1P_6$ (v našem primeru je oglišče $P_5$ na drugi polravnini kot ostala oglišča), lik ni konveksen.

Zlati rezje razmerje, ki ga lahko ponazorimo z razdelitvijo daljice na dva neenaka dela tako, da je razmerje večjega (označimo ga z $a$) proti manjšemu delu (označimo ga z $b$) enako razmerju celotne dolžine daljice ($a+b$) proti večjemu delu ($a$).Zapišemo lahko:

Razmerje imenujemo število $\Phi$, njegova približna vrednost je $1,618033988749894$. Za daljice v pentagramu (na sliki označene z $a,\ b,\ a+b$) velja, da so razmerja

Zlati rez pogosto srečujemo v naravi. Kar se tiče človeškega telesa, je tista meja, ki določa zlati rez, popek.Tudi zgradba sip, hobotnic, školjk je v zlatem rezu. V rastlinskem svetu sta na primer v zlatem razmerju deblo in krošnja. Pogosto pa zlati rez srečujemo na slikah, fotografijah in plakatih.

Preštejmo še število diagonal v $n$-kotniku. Začnimo s petkotnikom.

Iz točke $P_1$ lahko potegnemo dve diagonali (v $P_3$ in $P_4$, ki sta nesosedni oglišči). Iz $P_2$ lahko tudi potegnemo dve diagonali (v oglišči $P_4$ in $P_5$). Prav tako tudi iz preostalih treh oglišč narišemo po dve diagonali. To pomeni, da lahko iz vsakega oglišča potegnemo tri diagonale manj, kot je število oglišč (v primeru petkotnika iz vsakega oglišča lahko potegnemo $5-3 = 2$ diagonali). Iz slike vidimo, da na tak način vsako diagonalo štejemo dvakrat. (diagonala $P_1P_3$ je ista kot diagonala $P_3P_1$, diagonala $P_1P_4$ je ista kot diagonala $P_4P_1$,... ). Vseh oglišč je v petkotniku $5$. Izračunajmo (lahko tudi prešteješ) število diagonal

Po zgornjem razmisleku lahko zapišemo tudi število diagonal poljubnega $n$-kotnika.

1. Izračunajmo število diagonal $9$-kotnika.

Rešitev : Devetkotnik ima diagonal.

2. Ali lahko ugotovimo kateri $n$-kotnik ima $14$ diagonal?

Rešitev: $14$ diagonal ima -kotnik.

Koliko diagonal ima $13$ kotnik?

Kateri n-kotnik ima 20 diagonal?

Izračunajte koliko diagonal ima: a) desetkotnik.

Desetkotnik ima diagonal.

b) dvanajstkotnik.

Dvanajstkotnik ima diagonal.

c) dvajsetkotnik.

Dvajsetkotnik ima diagonal.

Kateri $n$-kotnik ima $6$ digonal?

Kateri $n$-kotnik ima trikrat toliko diagonal kot stranic?

S pomočjo slike izračunaj vsoto notranjih kotov devetkotnika ?

Vsota notranjih kotov devetkotnika je .