Spoznali smo že krožnico in elipso. Tukaj bomo obravnavali hiperbolo.
|
Hiperbola
Hiperbola
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Stožnice
Analitična definicija hiperbole
Množica točk, ki jo določa enačba
je hiperbola. Njeno enačbo lahko zapišemo tudi v obliki .
Zgornja enačba je zelo podobna enačbi elipse, vendar bomo kmalu ugotovili, da si obe krivulji, elipsa in hiperbola, nista prav nič podobni. Za začetek si bomo ogledali nekaj geometrijskih lastnosti grafa hiperbole.
Kje krivulja seka osi
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dana krivulja seka abscisno os v in , ordinatne osi ne seka.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo . Absciso izračunamo iz enačbe . Dobimo ali .
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo .
Simetričnost krivulje glede na osi
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dana množica točk je smetrična glede na in os.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Razmisli. Kaj se zgodi z enačbo, če namesto vstaviš ?
Namig
Če v enačbo namesto vstavimo –, se enačba ne spremeni.
Območje, na katerem leži dana krivulja
Za lažje nadaljevanje razmišljanja bomo enačbo preoblikovali v eksplicitno obliko (predpis je dvoličen), in sicer
Iz oblike enačbe lahko ugotovimo, da dobimo za realne vrednosti le v primeru, ko je korenjenec nenegativen, torej za oziroma za ] [ Prav tako lahko ugotovimo, da krivulja v prvem kvadrantu narašča ( narašča, če povečujemo )
Asimptoti krivulje
Iz oblike enačbe (torej ) lahko ugotovimo, da je pri -ih, velikih po absolutni vrednostih, korenjenec približno enak ali če smo natančnejši, manjši od ena. Točke na krivulji z enačbo se tako pri -ih, katerih vrednosti naraščajo prek vseh meja (), zelo približajo premicama Premici imenujemo asimptoti krivulje. Zelo daleč od izhodišča se iskana krivulja obnaša kot njeni asimptoti. V prvem kvadrantu leži se torej približuje premici in leži pod njo. Znaš premisliti, zakaj ravno pod njo?
Strnimo naše ugotovitve
- Hiperbola z enačbo seka abscisno os v točkah in , ordinatne osi ne seka.
- Hiperbola leži v območju ravnine, kjer je ] [
- Premici sta asimptoti krivulje.
- Krivulja v prvem kvadrantu narašča in se približuje premici
- Krivulja je simetrična glede na abscisno os.
- Krivulja je simetrična glede na ordinatno os.
Narišimo hiperbolo
Spodnja animirana slika nam bo pomagala narisati hiperbolo v koordinatni sistem. Koraki risanja, ki jih lahko spreminjaš z drsnikom na levi strani slike, zaporedoma sledijo ugotovitvam, ki so zapisane v prejšnjem okvirju.
|
|
Opis hiperbole
Pri hiperboli z enačbo imenujemo:
- a glavna ali realna polos hiperbole,
- b imaginarna polos,
- in temeni hiperbole.
- Središče hiperbole s tako enačbo ima središče v izhodišču koordinatnega sistema. Poimenujemo jo tudi hiperbola v središčni legi.
- Hiperbolo z enako realno in imaginarno osjo () imenujemo enakoosa hiperbola.
Opis hiperbole
Opazuj spodnjo animacijo in si poskušaj zapomniti, kako poimenujemo določene pomembne elemente pri risanju hiperbole.
|
|
Vaje
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Dana krivulja seka abscisno os v in , ordinatne osi ne seka
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo
Namig
Pri računanju presečišča z osjo vstavimo v enačbo
Vaje
Točka leži na hiperboli z enačbo .
Izračunaj absciso točke če veš, da leži na hiperboli z enačbo
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Točka leži na hiperboli z enačbo .
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
|
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
|
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
|
|
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Zrcaljenje hiperbole čez simetralo lihih kvadrantov
Se še spomniš, kako se spremeni enačba, če krivuljo v koordinatnem sistemu prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov?
Če bi hiperbolo z enačbo prezrcalili čez simetralo lihih kvadrantov, bi dobili zelo podobno enačbo. Nekaj podobnih enačb je zapisanih spodaj. Le ena med njimi je napačna. Verjetno si boš moral pomagati s svinčnikom in papirjem, a poskušaj sam ugotoviti, katera se je vrinila med pravilne oblike? Namig
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
V enačbi krivulje se zamenjata vlogi spremenljivk.
Enačba je napačna.
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
V enačbi zamenjaj in
Zrcaljenje hiperbole čez simetralo lihih kvadrantov
Opazuj spodnjo animirano sliko in s pomočjo drsnika na levi strani opazuj zrcaljenje hiperbole čez simetralo lihih kvadrantov. Bodi pozoren tudi na enačbo hiperbole v obeh primerih.
|
|
Vaje
Hiperbola je množica točk, ki ustrezajo enačbi
Realna polos hiperbole z enačbo je
Imaginarna polos hiperbole z enačbo je
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Trditev, da je hiperbola množica točk, ki ustrezajo enačbi ni pravilna.
Realna polos hiperbole z enačbo je
Imaginarna polos hiperbole z enačbo je
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Vaje
Hiperbola z enačbo ne seka ordinatne osi.
Hiperbola z enačbo ne seka abscisne osi.
Hiperbola z enačbo ima temeni
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Trditev, da hiperbola z enačbo ne seka ordinatne osi, je pravilna.
Trditev, da Hiperbola z enačbo ne seka abscisne osi, je pravilna.
Hiperbola z enačbo ima temeni in
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Geometrijska definicija hiperbole
Geometrijska definicija hiperbole ni vezana na koordinatni sistem. Dovolj je, da v ravnini izberemo dve točki, ki ju imenujemo gorišči (razdaljo med goriščema označimo z ), in razdalja med najmanj oddaljenima točkama na hiperboli (označimo jo z ).
Geometrijska izpeljava enačbe
Hiperbolo postavimo v koordinatni sistem tako, da ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in gorišči na abscisni osi. Naj bo točka na hiperboli. Z označimo pravokotno projekcijo točke na abscisno os. Trikotnika in sta pravokotna. Na njunih stranicah lahko uporabimo Pitagorov izrek. Izračunamo razdalji in :
in
Za lažjo predstavo si oglej animacijo.
Privzemimo, da je večji od . Iz definicje hiperbole vemo, da je . Torej je
Enačbo poenostvimo in dobimo enačbo hiperbole v središčni legi.
|
Enačbo kvadriramo in uvedemo novo spremeljivko
Delimo z . Rešimo iracionalno enačbo in odpravimo začasno spremenljivko. Dobimo enačbo
Ker je , je pozitivno število. Nadomestimo ga z Dobimo enačbo hiperbole v središčni legi.
Če enačbo delimo z , dobimo enačbo hiperbole v središčni legi.
Geometrijska izpeljava enačbe
Točki in sta gorišči hiperbole.
Konstanto imenujemo linearna ekscentričnost in nam pove, kako je hiperbola sploščena.
Zveza med , in
Konstanto imenujemo numerična ekscentričnost hiperbole.
Če ima hiperbola gorišča in temena na ordinatni osi, sta koordinati gorišč in
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Hiperbola z enačbo ima gorišči v točkah in
Hiperbola z enačbo ima gorišči v točkah in
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Enačba hiperbole na sliki je
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
3. naloga
Poveži opis hiperbole v središčni legi z njeno enačbo.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Enačba hiperbole z realno osjo in imaginarno osjo je ali
Enačba hiperbole, ki poteka skozi točki in je
Enačba hiperbole z asimptoto in temenom je
Enačba hiperbole z goriščem v točki ki poteka skozi točko je
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Temeni in asimptoti hiperbole so
Temeni in asimptoti hiperbole so
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
5. naloga
Poišči temeni, asimptoti in gorišči hiperbole
Poišči temeni, asimptoti in gorišči hiperbole
Poišči temeni, asimptoti in gorišči hiperbole
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Temeni, asimptoti in gorišči hiperbole so
Temeni, asimptoti in gorišči hiperbole so
Temeni, asimptoti in gorišči hiperbole so
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
6. naloga
Kaj je definicijsko območje funkcije ? Funkcijo predstavi tudi grafično.
Grafični prikaz
Kaj je definicijsko območje funkcije ? Funkcijo predstavi tudi grafično.
Kaj je definicijsko območje funkcije ? Funkcijo predstavi tudi grafično.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Definicijsko območje funkcije je ] [
Definicijsko območje funkcije je ] [
Definicijsko območje funkcije je ] [
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
| |
|
| |
|
Naloge
7. naloga
Katere od danih točk ne ležijo na hiperboli z enačbo Možnih je več odgovorov.
Katere od danih točk ne ležijo na hiperboli z enačbo Možnih je več odgovorov.
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Na hiperboli z enačbo ležijo točke
Na hiperboli z enačbo ne ležita točki in
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
8. naloga
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
9. naloga
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
10. naloga
Katera slika predstavlja hiperbolo z enačbo ?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni pravilen. Poskusi še enkrat.
Naloge
11. naloga
Premica poteka skozi teme hiperbole v središčni legi. Eno od gorišč hiperbole je v točki Katera enačba predstavlja opisano hiperbolo?
Odlično! Nalogo si rešil pravilno.
REŠITEV
Odgovor ni popolnoma pravilen. Poskusi še enkrat.
- Stožnice
- Analitična definicija hiperbole
- Kje krivulja seka osi
- Simetričnost krivulje glede na osi
- Območje, na katerem leži dana krivulja
- Asimptoti krivulje
- Strnimo naše ugotovitve
- Narišimo hiperbolo
- Opis hiperbole
- Vaje
- Zrcaljenje hiperbole čez simetralo lihih kvadrantov
- Vaje
- Geometrijska definicija hiperbole
- Geometrijska izpeljava enačbe
- Naloge
