Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Višinska točka in težišče

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

E-um

www.e-um.si

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Višina trikotnika

Slika je iz wikipedije - proste enciklopedije

Dokler se težišče kvadra nahaja nad osnovni ploskvijo se kvader ne bo prevrnil.

Čim pa navpičnica, ki jo potegnemo skozi težišče pade izven osnovne ploskve (pod težiščem kvader ne sloni na trdnih tleh) se bo telo prekucnilo.

Višina trikotnika je daljica, ki je pravokotna na nosilko stranice in povezuje nožišče višine (točko $N$ ) z nasprotnim ogliščem.

Nožišče veišine

Nožišče višine je presečišče nosilke višine in nosilke stranice.

Konstrukcija višine na stranico $a$

1. Narišemo nosilko stranice $a$ .

2. Skozi točko $A$ narišemo pravokotnico na stranico $a$ (to je nosilka višine).

3. Točka $N$ , kjer se sekata nosilka stranice $a$ in nosilka višine je nožišče višine.

4. VIŠINA je daljica s krajiščema $N$ in $A$ .

Potek konstrukcije si lahko po korakih ogledaš v spodnjem apletu.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Včasih pade višina iz trikotnika, včasih pa je v njem. V zgornjem apletu lahko z miško vlečeš oglišča in ugotavljaš, kdaj pade višina ven iz trikotnika in kdaj je v njegovi notranjosti.

Višina je v trikotniku le, če sta oba kota, ob stranici na katero želimo postavit višino, ostra.

Naredi sam

V trikotniku $ABC$ konstruiraj višino na stranico $b$ . Na razpolago imaš nekaj osnovnih orodij za konstruiranje: premica, daljica, vzporednica dani premici skozi dano točko, pravokotnica na dano premico skozi dano točko (ko izbereš to orodje, najprej označi premico, na katero želiš postavit pravokotnico in potem točko, skozi katero mora potekati pravokotnica), razpolovišče daljice ter ikoni za razveljavitev in uveljavitev zadnjega ukaza.

Ko boš nalogo pravilno dokončal, se ti bo ob sliki izpisalo: Narejeno!

Višinska točka ali ortocenter je točka, v kateri se sekajo nosilke vseh treh višin.

Konstrukcija višinske točke - ortocentra

1. Narišemo nosilko višine na stranico $a$ .

2. Narišemo nosilko višine na stranico $c$ .

3. Nosilke višine na stranico $b$ ni obvezno risati, saj zadoščata dve nosilki.

4. ORTOCENTER je točka, ki leži na presečišču nosilk višin.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Razmisli

1. Ali ortocenter vedno leži na višini?

Namig

Da.

Ne.

2. Ali je ortocenter vedno v notranjosti trikotnika.

Da.

Ne.

3. Kje leži ortocenter pravokotnega trikotnika?

Ortocenter je v tistem oglišču, ki je vrh pravega kota.

Ortocentr pade ven iz trikotnika.

Ortocenter je na sredini hipotenuze, saj je ta točka enako oddaljena od vseh treh oglišč.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.

1. Ali ortocenter vedno leži na višini?

Ne. Ortocenter leži na nosilki višine.

2. Ali je ortocenter vedno v notranjosti trikotnika.

Ne. Ortocenter je v notranjosti trikotnika le če je trikotnik ostrokoten.

3. Kje leži ortocenter pravokotnega trikotnika?

Ortocenter je v tistem oglišču, ki je vrh pravega kota.

Opomba: Stavek: Sredina hipotenuze je enako oddaljena od vseh treh oglišč, je popolnoma pravilen. Ampak ortocenter ni definiran kot točka, ki je enako oddaljena od vseh treh oglišč. Razmisli še malo, ali pa si pomagaj s konstrukcijo.

Pomagaj si z zgornjo animacijo.

Težiščnica in njena konstrukcija

Težiščnica je daljica, ki povezuje razpolovišče stranice z nasprotnim ogliščem.

Konstrukcija težiščnice na stranico $a$ .

1. Določimo sredino stranice $a$ (to naredimo s pomočjo simetrale stranice).

2. TEŽIŠČNICA je daljica, ki povezuje razpolovišče stranice z nasprotnim ogliščem.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Ali težiščnica razdeli trikotnik na dva skladna trikotnika?

Težiščnica razdeli poljubni trikotnik na dva skladna dela le včasih.

Težiščnica nikoli ne razdeli trikotnika na dva skladna dela.

Težiščnica razdeli poljubni trikotnik na dva skladna dela.

Ali težiščnica razdeli trikotnik na dva ploščinsko enaka dela?

Res je.

Ni res.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Težiščnica razdeli poljubni trikotnik na dva skladna dela le včasih. To velja le če imamo enakostraničen trikotnik ali pa če narišemo težiščnico na osnovnico enakokrakega trikotnika.

Res je, da vsaka težiščnica razdeli trikotnik na dva ploščinsko enaka dela. Oba dela trikotnika imata namreč enako dolgo osnovnico (polovica stranice) in enako veliko višino na to osnovnico (saj imata skupno nosilko osnovnice in skupen vrh nasproti nje). Ploščina trikotnika pa je odvisna samo od teh dveh podatkov ( $p= \frac{a \cdot v_a}{2}$ ).

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:

Težiščnica razdeli poljubni trikotnik na dva skladna dela le včasih. To velja le če imamo enakostraničen trikotnik ali pa če narišemo težiščnico na osnovnico enakokrakega trikotnika.

Res je, da vsaka težiščnica razdeli trikotnik na dva ploščinsko enaka dela. Oba dela trikotnika imata namreč enako dolgo osnovnico (polovica stranice) in enako veliko višino na to osnovnico (saj imata skupno nosilko osnovnice in skupen vrh nasproti nje). Ploščina trikotnika pa je odvisna samo od teh dveh podatkov ( $p= \frac{a \cdot v_a}{2}$ ).

Naredi sam

V trikotniku $ABC$ konstruiraj težiščnico na stranico $b$ .

Težišče

Težišče je točka, v kateri se sekajo vse tri težiščnice. Pravimo ji tudi masno središče.

Stolp v Pisi se lahko še malo nagne, potem pa ....

Če bi hoteli izračunat za koliko stopinj se stolp še lahko nagne, bi potrebovali kar precej znanja in seveda pravih podatkov.

Za eksperiment, pa lahko ugrezanje tal pod stolpom simuliramo z nagibanjem podlago, na katero postavimo valj.

Konstrukcija težišča

1. Konstruiramo težiščnico na stranico $a$ .

2. Konstruiramo težiščnico na stranico $b$ .

3. (Lahko konstruiramo tudi težiščnico na stranico $c$ .)

4. TEŽIŠČE je točka, v kateri se sekajo težiščnice.


Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)
Riš datoteka

Kako lahko določimo težišče poljubnega homogenega lika?

Lik obesimo, da prosto obvisi in na njem začrtamo navpičnico od obesišča navzdol. Postopek ponovimo v različnih obesiščih. Če smo bili dovolj natančni, se vse navpičnice sekajo v skupni točki. To je težišče lika. Če sedaj lik podpreš s svinčnikom v tej točki, bo obmiroval v ravnovesju.

Poskusi.

Spomenik na sliki označuje središče Evrope, ki se nahaja v Litvi.

Razmisli

1. Kolikokrat je odsek AT daljši od odseka TS?

Namig

$1x$

$2x$

2. V kateri vrstici so vsa razmerja pravilno zapisana?

Namig

$AT:TS = 2:1,\ AT:AS = 3:2,\ AS:TS = 3:1$

$AT:TS = 2:1,\ AT:AS = 2:3,\ AS:TS = 3:1$

$AT:TS = 1:2,\ AT:AS = 2:3,\ AS:TS = 3:1$

3. Kaj lahko poveš o ortocentru in težišču enakostraničnega trikotnika?

Obe točki ležita na skupni premici.

Ortocenter je na sredini višine, težišče pa na tretjini, saj vemo, da težišče deli težiščnico v razmerju $1:3$ .

Točki sovpadata.

Preveri

Pravilno

Bravo. Na vsa vprašanja si odgovoril pravilno.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Poskusi še enkrat.

Napačno

Nekateri tvoji odgovori so lahko pravilni, vendar ne vsi. Preberi si rešitev.
Rešitev:
1. Kolikokrat je odsek $AT$ daljši od odseka $TS$ ?

$2x$

2. V kateri vrstici so vsa razmerja pravilno zapisana?

$AT:TS = 2:1,\ AT:AS = 2:3,\ AS:TS = 3:1$

3. Kaj lahko poveš o ortocentru in težišču enakostraničnega trikotnika?

Točki sovpadata.

Pomagaj si z meritvami v apletu.

Smiselno je določiti $TS = t,\ AT = 2t$ in $AS = 3t$ . Potem pa pri razmerjih krajšaj ulomke.

Naloga 1

Konstruiraj trikotnik $ABC$ , v katerem meri $a = 6$ cm, $\beta = 60°$ in $t_a = 5$ cm.

Pravilno narisana in opisana konstrukcija

Potek konstrukcije:

1. Narišemo kot z vrhom v točki $B$ .

2. Iz oglišča $B$ narišemo lok ( $r = a = 6$ cm) in dobimo oglišče $C$ .

3. Poiščemo sredino $S$ stranice $BC$ .

4. Iz točke $S$ narišemo lok ( $r = ta = 5$ cm) in dobimo oglišče $A$ .

5. Oglišča povežemo.

Naloga 2

Konstruiraj trikotnik $ABC$ , v katerem meri $c = 5$ cm, $\alpha = 30°$ in $a = 4$ cm in določi njegov ortocenter.

Pravilno narisana in opisana konstrukcija

Potek konstrukcije:

1. Narišemo stranico $c = 5$ cm s krajiščema $A$ in $B$ .

2. Narišemo kot $\alpha = 30°$ z vrhom v točki $A$ .

3. Iz točke $B$ narišemo lok ( $r = a = 4$ cm) in dobimo oglišče $C$ . (Z danimi podatki lahko konstruiramo dva neskladna trikotnika: $ABC$ in $ABC*$ )

4. Oglišča povežemo.

5. Poščemo ortocenter trikotnika $ABC*$ .

Naloga 3

Konstruiraj trikotnik $ABC$ , v katerem meri $alpha = 45°$ , $\beta = 75°$ in $v_b = 3$ cm.

Pravilno narisana in opisana konstrukcija

Potek konstrukcije:

1. Narišemo nosilko stranice $b$ in njej vzporedno premico, ki je od nosilke stranica $b$ oddaljena $v_b = 3$ cm. Na tej vzporednici bo ležalo oglišče $B$ .

2. Na nosilki stranice $b$ si poljubno izberemo točko $A$ in v njej odmerimo kot $\alpha = 45°$ . Kjer krak kota seka prej nerisano vzporednico je točka $B$ .

3. Iz točke $B$ narišemo kot ( $\beta = 75°$ ) in dobimo oglišče $C$ .

4. Oglišča povežemo.

Naloga 4

Konstruiraj trikotnik $ABC$ , v katerem meri $b = 7$ cm, $t_c = 3$ cm in $v_b = 4$ cm in določi njegovo težišče.

Pravilno narisana in opisana konstrukcija

Pri konstrukciji smo morali upoštevat, da ležijo središča $S$ - vseh daljjic (nas zanima daljica $AB$ ), ki imajo eno oglišče fiksno na dani premici (točka $A$ ), eno pa na neznano kje na dani vzporednici (vzporednica nosilki stranice $b$ )- na premici, ki je vzporedna danima premicama in poteka točno po sredini med njima. Narišemo vzporednici razmaknjeni za $4$ cm. Na zgornji premici narišemo daljico $AC = 7$ cm.

Narišemo tretjo vzporednico, ki gre točno po sredini med danima dvema. Na tej srednji premici bo ležalo razpolovišče daljice $AB$ . Ker pa je to razpolovišče od $C$ oddaljeno $3$ cm, narišemo še lok iz $C$ polmera $r = t_c = 3$ cm. Teko dobimo središče $S$ stranice $AB$ . Narišemo še poltrak $AS$ in dobimo točko $B$ . Z danimi podatki je mogoče konstruirat dva različna trikotnika.

Višinska točka in težišče

Vaš brskalnik je zastarel

Pritisnite F11

Višinska točka in težišče

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Sodelujoče organizacije

Hvala za ogled gradiva!

Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.

Uporabljeni viri

Sodelujoče organizacije

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno

Pravilno

Napačno

Napačno