Vse funkcije v tem poglavju naj preslikujejo iz množice realnih števil v množico realnih števil (razen, če ni posebej drugače napisano). Krajše: za vse funkcije v nadaljevanju privzemimo, da

Opazujmo graf funkcije na spodnji sliki. Na njem so točke, ki so še posebej zanimive. Lahko ugotovite, katere točke bi to bile?

Opazimo, da sta na grafu označeni presečišči grafa s koordinatnima osema. Točka $N$ s koordinatama $(–6, 0)$ je presečišče grafa funkcije z abscisno osjo. Absciso ($x$ koordinato urejenega para $(x, y)$) točke, v kateri je vrednost $y$ koordinate enaka $0$, imenujemo ničla funkcije.

Koordinati točke $M$, kjer graf funkcije seka os $y$, sta $(0, –3)$. Ordinato točke ($y$ koordinata urejenega para $(x, y)$), v kateri seka funkcija os $y$, imenujemo začetna vrednost funkcije.

Vrednost funkcije pri $x=0$, to je $f(0)$, je začetna vrednost funkcije.

Kako lahko določimo ničlo funkcije?

Žal "recepta" za vse funkcije ni. Veliko ničel lahko določimo samo približno in jih sploh ne znamo natančno izračunati. Pogosto pa lahko ničlo funkcije preprosto izračunamo. Poglejmo na primeru. Denimo, da bi radi izračunali ničlo funkcije $f(x)=2x–3$. Poiskati moramo tiste vrednosti spremenljivke $x$, pri katerih je vrednost funkcije enaka $0$. Kar pomeni

Ničla je:

Ničlo smo našli, ker smo znali rešiti enačbo $f(x)=0$.

Iskanje začetne vrednosti funkcije je preprostejše. Iščemo vrednost funkcije pri vrednosti neodvisne spremenljivke $x=0$. V primeru funkcije $f(x)=2x–3$ lahko izračunamo:

Izračunaj ničlo funkcije $f(x) = -\frac{3}{2} x + \frac{5}{6}$.

Določi začetno vrednost funkcije $f(x) = -x^3 + 2x^2 + \frac{4}{5} x - 1$.

Na sliki je graf funkcije $f(x)=0.4x+1.5$.

Točko $N$ premakni v presečišče grafa z abscisno osjo, točko $M$ pa v presečišče grafa z ordinatno osjo.

Ničla funkcije na sliki je $M(0, 1.5)$ $y = 1.5$ $x = 3.75$ $N(3.75, 0)$

Raziskovanje lastnosti funkcij začnimo z zgodbo.

V zgodbi nastopajo otroci Miha, Tomaž, Ajda in Simon, ki so se odločili, da bodo posvojili živali v zavetišču (mimogrede: množica A ali definicijsko območje je v našem primeru množica teh štirih otrok). V zavetišču so imeli psa mešanca, volčjaka in mačko. Otroci si so jih takoj razdelili. Miha si je zaželel volčjaka, Ajda mačko, Simon pa mešanca. Tomaž je ostal brez živali. Predstavimo s puščičnim diagramom predpis, ki otroku priredi izbrano žival.

Preslikava ni funkcija

Ko je Ajda videla, da je Tomaž žalosten, mu je ponudila, da skupaj skrbita za mačko. Nov položaj opišemo s sliko:

Slika surjektivne funkcije

Preslikava na sliki je funkcija, saj se vsak element množice A preslika v natančno določen element množice B. Vsak otrok ima skrbništvo ali soskrbništvo natanko ene živali. Funkciji na sliki rečemo surjektivna funkcija. Funkcija je surjektivna, ko se v vsak element množice B preslika vsaj en element iz množice A. Vsi elementi množice B so v tem primeru slike nekega originala iz A. Množico slik smo poimenovali tudi zaloga vrednosti funkcije in jo označili z $Z_f$. Funkcija je torej surjektivna, ko je $Z_f = B$. V našem primeru to pomeni, da ima vsaka žival svojega skrbnika.

Lahko bi tudi rekli, da je funkcija surjektivna, ko je vsak element množice B slika vsaj enega elementa iz definicijskega območja. Če torej najdemo element v množici B, ki ni slika nobenega elementa množice A, funkcija ni surjektivna.

Naše zgodbe pa še ni konec. Tomaž je želel skupaj z Mihom prevzeti skrbništvo tudi nad volčjakom. Oskrbnik zavetišča mu tega ni dovolil.

Sliko želja otrok bi lahko ponazorili.

Preslikava ni funkcija

Na srečo se je tedaj v zavetišče zatekel še črn mešanček, našli pa so tudi zapuščeno želvo. Tomaž se je odločil, da bo skrbel za mešančka.

Slika injektivne funkcije

Preslikava na sliki je injektivna funkcija. Različni elementi množice A se preslikajo v različne elemente množice B. Različni otroci skrbijo za različne živali.

V primeru, da dva otroka skrbita za isto žival, funkcija ni injektivna. Ali splošneje: če se dva različna originala preslikata v isti element množice B, preslikava ni injektivna.

Zgodba pa ima srečen konec, saj se je v zavetišču oglasil lastnik želve in oba sta vesela odšla domov.

Nova slika povezav med otroki in živalmi.

Slika bijektivne preslikave

Preslikava na sliki je funkcija (vse elemente množice A smo preslikali, noben element nima dveh slik). Preslikava je surjektivna (vsi elementi v množici B so slike). Preslikava je tudi injektivna (različni originali imajo različne slike).

Denimo, da imamo funkcijo $f:A \rightarrow B$ , kjer je $A={1,2,3,4,5}$ in $B={2,3,4,5}$.

Funkcijo predstavimo s tabelo.

Različne vrednosti neodvisne spremenljivke $x$ se preslikajo v isto vrednost, tj. $2$. Kar pomeni, da funkcija NI injektivna. Zaloga vrednosti funkcije je množica, ki vsebuje element $2$, torej $Z_f = {2}$. Ker je to prava podmnožica množice B, funkcija tudi NI surjektivna.

Imejmo funkcijo, ki slika iz množice $32$ dijakov 1.asi razreda v množico ocen ${1,2,3,4,5}$. Preslikava vsakemu dijaku priredi zaključno oceno iz matematike.

Kaj lahko povemo o tej funkciji?

1. Funkcija je injektivna.

   Pravilno

   Napačno

2. Funkcija je bijektivna.

   Pravilno

   Napačno

Preveri

Na sliki je puščični diagram, ki ponazarja, kako so se dijaki razporedili na športnem dnevu k različnim dejavnostim. Opazuj animacijo, nato pa odgovori na vprašanja.

Izračunaj ničle funkcije.

Preveri

V 1. b-razredu imamo dvojčka Majo in Vida. Zamislimo si preslikavo, ki slika iz množice dijakov 1. b v množico mamic 1. b-razreda. Preslikava vsakemu dijaku iz 1.b priredi njegovo mamo.

Je preslikava funkcija?

Je preslikava surjektivna?

Je injektivna?

Preveri

Imejmo funkcijo $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, podano s predpisom $f : \rightarrow 2x$.

Je funkcija injektivna?

Je funkcija surjektivna?

Preveri