Vzemimo poljuben krog in točko , ki leži točno nad središčem kroga. To točko povežimo z neko točko na krožnici. Ko ta točka prepotuje celo krožnico, opiše zveznica krivo ploskev, ki poleg kroga omejuje telo, imenovano pokončni stožec.

Na spodnji sliki lahko premikaš točko po obodu kroga in opazuješ nastanek telesa.

Geogebra datoteka

Če razgrnemo plašč stožca v ravnino, dobimo krožni izsek, katerega polmer je enak stranici stožca . Središčni kot tega izseka je odvisen od razmerja med višino stožca in premerom osnovne ploskve. To lahko raziščemo na spodnji aktivni sliki. Na njej lahko z drsniki spreminjaš polmer in višino stožca in opazuješ, kako se spreminjata njegova oblika in njegov plašč.

Geogebra datoteka

Višino, polmer in stranico stožca povezuje Pitagorov izrek, kot lahko razberemo iz osnega preseka na zgornji sliki. Zapiši to povezavo. Rešitev

Stožec omejujeta osnovna ploskev (krog s ploščino ) in plašč. Zanj smo že rekli, da je krožni izsek, njegovo ploščino pa bomo določili s pomočjo spodnje aktivne slike. Če premikaš točko na drsniku zgoraj levo na sliki, vidiš, da se krog natanko enkrat zavrti, medtem ko drsi po krožnem loku. Iz tega vidimo, da je krožni lok plašča enak obsegu osnovne ploskve.

Geogebra datoteka

Torej velja zveza . Izračunaj iz tega izraza središčni kot .

Rešitev

Prostornino (pogosto uporabljamo tudi izraz volumen) dobimo podobno kot pri piramidi. Stožec ima trikrat manjši volumen kot valj z enako osnovno ploskvijo in višino.

To pravilo lahko preverimo tudi praktično. Vzemimo valj in stožec z enako osnovno ploskvijo in višino in prelivajmo tekočino iz stožca v valj. Če ne polijemo preveč, bomo z vsebino treh stožcev napolnili valj.

Stožec imenujemo enakostranični, če je njegov osni presek enakostranični trikotnik, če torej velja .

Izpelji obrazca za površino in volumen enakostraničnega stožca.

Rešitev

1. naloga

Obseg osnovne ploskve stožca meri 24 cm, plašč pa 156 . Izračunaj polmer osnovne ploskve, višino in prostornino. Rezultate zapiši v ustrezna okenca spodaj. Pomoč

Odgovor: = cm, = cm, = .

Preveri

2. naloga

Izsek kroga s polmerom 36 dm in središčnim kotom 104º zvijemo v plašč stožca. Kolikšna sta polmer in višina tega stožca?

Preveri

3. naloga

Osni presek stožca meri in ima ob vrhu kot 120°. Izračunaj volumen stožca. Pomoč

Odgovor: Volumen stožca meri

Preveri

4. naloga

Stožec je visok 21 cm, njegova stranica pa oklepa z osnovno ploskvijo kot 46º 23' 50". Kolikšna je površina stožca? Rezultat zapiši v okence spodaj.Pomoč

Odgovor: Površina stožca znaša: = .

Preveri

5. naloga

Prostornina enakostraničnega stožca meri 622,13 . Kolikšna je njegova površina?

Preveri

6. naloga

Obseg osnovne ploskve stožca meri 88 cm, ploščina osnega preseka pa 672 . Izračunaj površino in prostornino stožca, vzemi za približek .

Odgovor: Površina stožca meri = 971 1555 2816 1623 , njegova prostornina pa = 9856 5471 2338 7435 .

Preveri

7. naloga

Stožec ima površino 216 , njegova stranica pa meri 15 cm. Izračunaj volumen in kot ob vrhu osnega preseka.

Odgovor: Prostornina stožca meri = 342 435 324 132 , kot ob vrhu osnega preseka pa = 35,18 54,82 16,26 73,74 °.

Preveri

8. naloga

Osnovna ploskev in plašč stožca sta v razmerju 4:5, volumen stožca meri 432 . Izračunaj polmer in kot med osnovno ploskvijo in stranico stožca.

Odgovor: Polmer stožca meri = 14 7 12 24 cm, kot med osnovno ploskvijo in stranico stožca pa = 30,47 36,87 25,94 15,25 °.

Preveri

9. naloga

Stožec ima stranico dolgo 40 cm, kot ob vrhu osnega preseka je 76°. Kolikšen je središčni kot v ravnino iztegnjenega plašča tega stožca?

Preveri

10. naloga

Silos za žito ima obliko narobe obrnjenega stožca s polmerom 1,2 m in višino 3 m. Koliko kg žita je v njem, ko je poln ( = 0,75 ). V koliko dneh bodo silos izpraznili do polovice višine, če na dan porabijo 150 kg žita? Rezultat primerno zaokroži.

Odgovor: V silosu je = 2488 3390 4678 982 kg žita. Polovico silosa bodo izpraznili v približno = 5 10 15 20 dneh.

Preveri

11. naloga

Lij ima obliko narobe obrnjenega enakostraničnega stožca s polmerom 8 cm. Napolnimo ga s tekočino, ki izteka na dnu enakomerno s hitrostjo 30 . V kolikšnem času bo iztekla vsa tekočina?

Preveri

12. naloga

Dva stožca imata enak volumen, pri tem pa je polmer prvega dvakrat večji od drugega. Kolikokrat mora biti višina drugega večja/manjša od višine prvega?

Preveri