Najprej se bomo skupaj spomnili še treh pomembnih lastnosti funkcij.

Dane imaš diagrame funkcij. Spomni se, kaj je lastnost surjektivnih funkcij, če ti zaupam, da sta diagrama funkcij $g$ in $t$ primera takih funkcij.

To pomeni, da je zaloga vrednosti enaka množici $B$.

Podobno se skušaj spomniti, kaj je lastnost injektivnih funkcij, če sta taki funkciji $g$ in $h$.

Povedano drugače: funkcija $f$ je injektivna, če je vsak element iz množice $B$ slika kvečjemu (največ) enega elementa iz množice $A$.

Sedaj še razmisli o pojmu bijektivnost, če je taka funkcija $g$. Kaj pa velja za funkcijo $f$?

Ker je bijektivna funkcija surjektivna, je vsak element iz množice $B$ slika vsaj enega elementa iz množice $A$; zaradi injektivnosti pa je vsak element iz množice $B$ slika največ enega elementa iz množice $A$. Posledica obojega je, da je pri bijektivni funkciji vsak element iz množice $B$ slika natanko enega elementa iz množice $A$. Zato imata množici $A$ in $B$ enako število elementov (rečemo tudi, da je moč množice $A$ enaka moči množice $B$).

Kadar imamo podan graf funkcije, lahko opisane lastnosti razberemo z opazovanjem presečišč med grafom funkcije in poljubne vzporednice z osjo $x$.

Opazuj podane grafe funkcij na naslednjih prosojnicah in ugotovi, kateri predstavljajo surjektivne, injektivne ali bijektivne funkcije. Odgovore najdeš pod gumbki na vsaki prosojnici. Začni že tukaj.

Če se vrnemo k drugem primeru:

V tem primeru opazovana funkcija ni surjektivna. Ali lahko določimo tako množico $B \subset \mathbb {R}$, da bo funkcija surjektivna?

Kaj lahko poveš o opisanih lastnostih za linearno funkcijo?

Linearna funkcija $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ s predpisom $f(x)= kx +n$ je vedno bijektivna, razen za $k=0$. V primeru $k=0$ gre za konstantno funkcijo $(y=n)$, ki nikakor ni bijektivna.

Zanima nas, kako priti do predpisa, ki bi slike dane funkcije preslikal nazaj v njihove originale.

Naj bo $f(x)=x+1$. Torej je $f(0)=1$, $f(2)=3$. Skušaj poiskati tako funkcijo, ki bo $1$ preslikala v $0$ in $3$ v $2$.

Dana funkcija vsakemu elementu prišteje $1$, torej bomo morali sedaj odšteti $1$. Če definiramo $g(x)=x–1$, dobimo $g(1)=0$ in $g(3)= 2$.

Funkcija $g(x)=x–1$ ima torej zahtevane lastnosti za ta dva elementa. Ali to velja za poljuben $x$ iz njenega definicijskega območja?

Pravimo, da je funkcija $g$ inverzna funkcija funkcije $f$.

Sedaj si poglejmo funkcijo $h(x)=x^2$. Razmisli, katera funkcija bi njene slike preslikala nazaj v originale. Pomagaj si z izbranimi funkcijskimi vrednostmi, npr. $h(1)$, $h(–1)$ in $h(2)$. Kaj opaziš?

Kakšna torej mora biti funkcija $f: A → B$, da ji bomo lahko poiskali njeno inverzno funkcijo? Razmisli, kdaj lahko poljubnemu elementu $b \in B$ enolično določimo njegov original.

Opozorilo

Oznaka inverzne funkcije $f ^{–1}$ ne pomeni obratne vrednosti funkcije:

Poglejmo si lastnosti inverzne funkcije in njen graf.

Ali je tudi inverzna funkcija bijektivna?

Za funkcijo $f(x)=x+1$ smo prej našli njeno inverzno funkcijo $f –1(x)=x–1$.

Skušaj poiskati inverzno funkcijo še funkciji $h(x)=2x+3$. Katero funkcijo dobiš?

Nariši grafa funkcije $f(x)$ in njej inverzne funkcije v isti koordinatni sistem. Enako naredi za funkcijo $h(x)$.

Odpri si sliki grafov funkcij in njihovih inverznih funkcij zgoraj.

Opazuj lego grafov. Kaj opaziš?

Črtkana premica na obeh slikah je simetrala lihih kvadrantov s predpisom $y=x$. Kakšna je lega grafov glede na to simetralo?

Kje se sekata grafa funkcije $h(x)$ in $h^{–1}(x)$? Potrdi z računom.

Kot smo že ugotovili, sta grafa funkcije $f$ in njene inverzne funkcije zrcalna glede na simetralo lihih kvadrantov. Na sliki spodaj je to še enkrat nazorno prikazano. Podan imaš graf funkcije $f(x)=3x+6$ in graf inverzne funkcije $f^{–1}(x)=\frac {x}{3}–2$.

Ker je $f(x)=y$, točka $T(x, y)$ leži na grafu funkcije $f$.

Ker je potem $f^{–1}(y)=x$, leži točka $T'(y, x)$ na grafu funkcije $f^{–1}$.

Točko $T'$ dobimo z zrcaljenjem točke $T$ preko simetrale lihih kvadrantov; to lahko opazuješ, če premikaš točko $T$ na sliki.

Pazljivo preberi trditve spodaj in ugotovi, ali so pravilne ali nepravilne.
1. Funkcija $f(x)= 1+4x$ ima inverzno funkcijo s predpisom $f^{-1}= \frac{1}{1+4x}$. Pravilno. Napačno.

2. Grafa funkcije $f$ in $f^{–1}$ se sekata na simetrali sodih kvadrantov. Pravilno. Napačno.

3. Inverzna funkcija je surjektivna. Pravilno. Napačno.

4. Inverzna funkcija linearni funkciji je linearna funkcija. Pravilno. Napačno.

5. Če premico $3x–4y–8=0$ prezrcalimo preko simetrale lihih kvadrantov, dobimo premico $4x–3y+8=0$. Pravilno. Napačno.

Za podane funkcije $f : A \rightarrow B$ ugotovi, katere so injektivne, surjektivne oziroma bijektivne.
$A = {−3,−2,−1, 0, 1, 2}$, $B = {0, 1, 2, 3}$, $f(x) = |x|$
Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.

$A = {−1, 0, 1, 2, 3}$, $B = {2, 3, 4, 11, 30}$, $f(x) = x^3 + 3$
Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.

$A = {−1, 0, 1, 2}$, $B = \{−1, 0,\frac {1}{3}, \frac {1}{2}, \frac {1}{4} \}$, $f(x) = \frac {x}{x+2}$
Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.

$A = {1, 2, 3}$, $B = {−6,−5,−4,−3,−2,−1}$, $f(x) = −2x$
Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.

Na sliki je graf funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Ali je funkcija surjektivna, injektivna oziroma bijektivna? Grafom bijektivnih funkcij nariši grafe njihovih inverznih funkcij.

Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.	Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.	Je le surjektivna. Je le injektivna. Je binjektivna. Ni nič od naštetega.
Graf inverzne funkcije	Graf inverzne funkcije	Graf inverzne funkcije

Poveži funkcijo in njeno inverzno funkcijo: