jsMath

Zaporedja in vrste - vaje

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Zaporedja in vrste - vaje

Avtor: Skupina NAUK

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Nadaljevanje zaporedja

Zapišite naslednji člen v podanih zaporedjih:

1, 2, 3, 4,

2, 4, 6, 8,

1, 4, 9, 16,

-1, 1, -2, 2,

Niste odgovorili na vsa vprašanja. Zaprite to okno in dopolnite odgovore.

Odgovor je pravilen.

Vaši odgovori so delno pravilni. Pravilna rešitev je:

1, 2, 3, 4, 5
2, 4, 6, 8, 10
1, 4, 9, 16, 25
-1, 1, -2, 2, -3

Odgovori so napačni. Pravilna rešitev je:

1, 2, 3, 4, 5
2, 4, 6, 8, 10
1, 4, 9, 16, 25
-1, 1, -2, 2, -3

Zapišite zaporedje 1

Zapišite prvih pet členov zaporedja s podanim splošnim členom an=3n+1:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Nalogo rešite tako, da v formulo vstavite za a1 število 1 namesto n, za a2 vstavite število 2 namesto n in tako naprej. Pravilna rešitev je:

a1=4
a2=7
a3=10
a4=13
a5=16

Zapišite zaporedje 2

Zapišite prvih pet členov zaporedja s podanim splošnim členom an=n+2n−2. Ulomke pretvorite v decimalna števila in jih zaokrožite na dve decimalni mesti.

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Nalogo rešite tako, da v formulo vstavite za a1 število 1 namesto n, za a2 vstavite število 2 namesto n in tako naprej. Pravilna rešitev je:

a1=−0.33
a2=0
a3=0.2
a4=0.33
a5=0.43

Zapišite zaporedje 3

Zapišite prvih pet členov zaporedja s podanim splošnim členom an=2−n2:

a1 =

a2 =

a3 =

a4 =

a5 =

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Nalogo rešite tako, da v formulo vstavite za a1 število 1 namesto n, za a2 vstavite število 2 namesto n in tako naprej. Pravilna rešitev je:

a1=1
a2=−2
a3=−7
a4=−14
a5=−23

Zapišite iskani člen zaporedja

Dana so zaporedja. Zapišite iskani člen:

an=2n−4, a7=

an=n2+2n−5, a4=

an=(−1)n, a99=

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Nalogo rešite tako, da v formulo vstavite namesto n ustrezno število (npr. za a7 vstavite število 7 namesto n). Pravilen rezultat je:

a7=10
a4=19
a99=−1

Zapišite iskani člen rekurzivnega zaporedja

Za naslednja rekurzivno podana zaporedja zapišite iskani člen:

a1=2, an+1=−2an, a2=

a1=1, an+1=an+3, a4=

a1=−2, an+1=−an, a5=

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Pravilen rezultat je:

a2=−1
a4=10
a5=−2

Lastnosti zaporedja

Podan je graf zaporedja an=4nn+1. Določite lastnosti zaporedja.

(vaje_lastnosti.png)

Zaporedje je naraščajoče padajoče alternirajoče konstantno in omejeno samo navzdol omejeno samo navzgor omejeno ni omejeno .

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Zaporedje je naraščajoče in na obe strani omejeno,spodnja meja je 2, zgornja meja je 4. Na grafu vidimo, da zaporedje narašča, prvi člen je 2, členi se vedno bolj približujejo 4. Vse te lastnosti lahko preverite še računsko.

Omejenost

Dokazati morate, da je zaporedje an=nn+3 navzgor omejeno z M=4. Katero neenakost boste uporabili v dokazu?

an−M≤0

an+1−an≤0

an−M≥0

an+1−an≥0

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Za dokazovanje zgornje meje uporabljamo formulo an−M≤0.

Aritmetično zaporedje 1

Katera izmed naslednjih zaporedij so aritmetična?

2, 5, 8, 11, 14...

an=2n+1

an=5+3(n−1)

an=n2+1

1, 2, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 4...

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Za aritmetično zaporedje je značilno, da je razlika med poljubnima sosednjima členoma enaka. Taka so zaporedja:

2, 5, 8, 11, 14...
an=2n+1
an=5+3(n−1)

Za zaporedji:

an=n2+1
an=1,2,4,2,1,0,1,2,4...

pa to ne velja.

Aritmetično zaporedje 2

V aritmetičnem zaporedju je osmi člen -21, štirinajsti člen pa 33. Koliko je prvi člen a1 in koliko razlika d?

a1=

d=

Zapišite a8 in a14 po definiciji aritmetičnega zaporedja in nato rešite sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen.

a8=−21, a14=33
Uporabimo enačbo: an=a1+(n−1)d
a8: −21=a1+7d
a14: 33=a1+13d
Rešimo sistem dveh enačb z dvema neznankama, dobimo a1=−84 in d=9.

Vsota geometrijskega zaporedja

Izračunajte vsoto prvih 10 členov geometrijskega zaporedja an=4·3n−1.

Odgovor: S10=

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Vsoto n členov geometrijskega zaporedja izračunamo po formuli Sn=k−1a1(kn−1). Vsoto 10 členov izračunamo tako, da namesto n v formulo vstavimo 10, a1=4 in k=3. Pravilen rezultat je 118096.

Aritmetično in geometrijsko

Ustrezno povežite!

a1+(n−1)d

a1·kn−1

2n(a1+an)

k−1a1(kn−1)

a11−k

Splošni člen aritmetičnega zaporedja

Splošni člen geometrijskega zaporedja

Vsota končne aritmetične vrste

Vsota končne geometrijske vrste

Vsota neskončne geometrijske vrste

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Formule so:

a1+(n−1)d	Splošni člen aritmetičnega zaporedja
a1·kn−1	Splošni člen geometrijskega zaporedja
2n(a1+an)	Vsota končne aritmetične vrste
k−1a1(kn−1)	Vsota končne geometrijske vrste
a11−k	Vsota neskončne geometrijske vrste

Konstantno zaporedje

Zaporedje 1, 1, 1, ..., 1, ... je primer:

obeh zaporedij

aritmetičnega zaporedja

geometrijskega zaporedja

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. 1, 1, 1, ... je:

aritmetično zaporedje z začetnim členom a1=1 in razliko d=0,
geometrijsko zaporedje z začetnim členom a1=1 in kvocientom k=1.

ε okolica

Kaj pomeni O1(5)?

(4, 6)

(0, 6)

(-4, 6)

(0, 5)

(-2.5, 2.5)

(5.5, 4.5)

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Oε(a) preberemo kot epsilon okolica števila a in pomeni intereval (a−ε,a+ε). O1(5) torej pomeni 1- okolica števila 5, oziroma interval (5−1,5+1)=(4,6).

ε okolica 2

Zapis x∈Oε(a) pomeni, x leži v epsilon okolici števila a. Določite, katere od naslednjih trditev so pravilne in katere napačne.

4∈O2(5)

1∈O1(4)

2.5∈O0.2(3)

0.999∈O0.01(1)

3∈O3(6)

2/∈O4(−3)

Pravilna

Napačna

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen.

O2(5) pomeni (3,7), 4∈(3,7), zato je trditev 4∈O2(5) pravilna.
O1(4) pomeni (3,5), 1/∈(3,5), zato je trditev 1∈O1(4) napačna.
O0.2(3) pomeni (2.8,3.2), 2.5/∈(2.8,3.2), zato je trditev 2.5∈O0.2(3) napačna.
0.999∈O0.01(1) pomeni (0.99,1.01), 0.999∈(0.99,1.01), zato je trditev 0.999∈O0.01(1) pravilna.
O3(6) pomeni (3,9), 3/∈(3,9), ker je interval odprt, zato je trditev 3∈O3(6) napačna.
O4(−3) pomeni (−7,1), 2/∈(−7,1), zato je trditev 2/∈O4(−3) pravilna.

Neskončno geometrijsko zaporedje

Podana so geometrijska zaporedja z različnim začetnim členom in količnikom. Izberite tista, ki jih lahko seštejemo.

an=2n

an=(31)n

an=3·(0.002)n−1

an=1100·(−99100)n−1

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen. Seštejemo lahko tista zaporedja, ki imajo količnik med -1 in 1, to so

an=(31)n
an=3·(0.002)n−1.

Limita

Povežite limite na levi z vrednostmi na desni.

limn→∞1

limn→∞n1

limn→∞e

limn→∞(1+n1)n

limn→∞n

limn→∞n3n2+1

limn→∞1−n31+n+n2

1

0

e

ne obstaja

Odgovor je pravilen.

Odgovor je napačen.

limn→∞1=1
limn→∞n1=0
limn→∞e=e
limn→∞(1+n1)n=e
limn→∞n ne obstaja
limn→∞n3n2+1=0
limn→∞1−n31+n+n2 ne obstaja

Razultati

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

0%