Okolica točke
Okolica števila je odprt interval okoli . Odprti interval imenujemo (epsilon) okolica števila in ga označimo .
Točka v koordinatnem sistemu ima dve koordinati, in . Za vsako imamo svojo okolico. Zato, da ju ločimo, bomo okolico točke na osi imenovali (delta) okolica, okolico točke na osi pa okolica.
Limita funkcije
Limita funkcije je število, proti kateremu gredo funkcijske vrednosti, če gredo vrednosti neodvisne spremenljivke proti .
Na levi sliki vidimo, da ko se vrednosti bližajo , se vrednosti bližajo . Limita obstaja. Na desni sliki pa to ni res. Ko se vrednosti bližajo , se vrednosti bližajo dvema različnima točkama. Limita ne obstaja.
Formalna definicija limite
Če za vsak obstaja , da velja: če je v okolici , je v okolici , potem je
Z znaki to napišemo takole:
Če vzamemo okolico , kot je označena na sliki (pobarvani del), potem bo ne glede na to, kako majhen vzamemo, zeleni del funkcije vedno zunaj okolice , zato limita ne obstaja.
Pravila za računanje limit
Za računanje limite funkcije veljajo enaka pravila kot za računanje limite zaporedja:
Seznam najpogostejših limit
Računanje limit
Limite računamo na naslednji način:
Najprej v limito vstavimo namesto vrednost, h kateri se približuje.
Števec in imenovalec razstavimo in okrajšamo. Potem spet vstavimo vrednost v limito.
Če nastopa v ulomku koren v razliki, potem racionaliziramo. Potem zopet poskusimo z vstavljanjem vrednosti.
Imamo limito, ko gre , in želimo krajšati z . To lahko storimo, ker se samo približuje 0, vrednosti 0 pa ne zavzame. Torej krajšamo z , kar je dovoljeno.
Enako velja za katerikoli drug izraz, s katerim želimo krajšati ulomek pri računanju limit.
Limite kotnih funkcij
Kadar računamo limite kotnih funkcij, si pomagamo z naslednjim pravilom:
Zgled 1:
Zgled 2:
Neskončna limita
Do zdaj smo obravnavali dve možnosti, ki ju dobimo pri računanju limite, definirano vrednost in . Zdaj pa razložimo še, kaj pomeni .
Poglejmo . Če namesto vstavimo 2, dobimo . Ko se vrednost bliža vrednosti 2, vrednost ulomka raste čez vse meje. Dobimo neskončno limito:
Če ima izraz, katerega limito iščemo, negativen predznak, potem je limita tega izraza .
Limita v neskončnosti
Do zdaj smo gledali limite, ko gre k nekemu realnemu, ponavadi dosti majhnemu številu . Kaj pa, ko raste v neskončnost?
Pglejmo limito V to limito ne moremo kar vstaviti . Oglejmo si obnašanje funkcije, ko raste. je vedno bližje 1, nikoli pa 1 ne doseže, ker je števec večji od imenovalca.
Limita funkcije v neskončnosti je podobna limiti zaporedja, samo da smo pri zaporedjih gledali samo vrednosti naravnih števil , tu pa vrednosti vseh realnih števil .
Limito v neskončnosti računamo na enak način kot limito zaporedja. Veljajo enaka pravila in postopki računanja:
Asimptote funkcij
Limita grafično predstavlja premico. Kadar imamo neskončno limito, je to navpična premica. Graf funkcije se premici približuje, ko raste čez vse meje. Tej premici rečemo tudi navpična asimptota (ali pol, kot jo imenujemo pri racionalnih funkcijah).
Kadar govorimo o limiti v neskončnosti, je premica vodoravna. Graf funkcije se premici približuje, ko raste čez vse meje. Govorimo o vodoravni asimptoti.
