jsMath

Limita funkcije - teorija

Limita funkcije - teorija

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Razložiti pojem limite, izračunati limito funkcije, razložiti pomen limite v neskončnosti in neskončne limite.

Okolica točke

Okolica števila a je odprt interval okoli a. Odprti interval (aε,a+ε) imenujemo ε (epsilon) okolica števila a in ga označimo Oε(a).

(okolica.png)

Točka v koordinatnem sistemu ima dve koordinati, x in y. Za vsako imamo svojo okolico. Zato, da ju ločimo, bomo okolico točke a na x osi imenovali δ (delta) okolica, okolico točke b na y osi pa ε okolica.

(okolica_xyos.png)

Limita funkcije

Limita funkcije je število, proti kateremu gredo funkcijske vrednosti, če gredo vrednosti neodvisne spremenljivke proti a.

b=limxaf(x)
(limita_fja.png) (limita_ni_fja.png)

Na levi sliki vidimo, da ko se vrednosti x bližajo a, se vrednosti f(x) bližajo b. Limita obstaja. Na desni sliki pa to ni res. Ko se vrednosti x bližajo a, se vrednosti f(x) bližajo dvema različnima točkama. Limita ne obstaja.

Formalna definicija limite

Če za vsak ε>0 obstaja δ>0, da velja: če je x v δ okolici a, je f(x) v ε okolici b, potem je b=limxaf(x).

Z znaki to napišemo takole:

δ>0ε>0:|xa|<δ|f(x)b|<εb=limxaf(x)
Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Če vzamemo ε okolico b, kot je označena na sliki (pobarvani del), potem bo ne glede na to, kako majhen δ vzamemo, zeleni del funkcije vedno zunaj ε okolice b, zato limita limxaf(x) ne obstaja.

Geogebra datoteka

Pravila za računanje limit

Za računanje limite funkcije veljajo enaka pravila kot za računanje limite zaporedja:

limxac=c
limxaa·f(x)=a·limxaf(x)
limxa(f(x)+g(x))=limxaf(x)+limxag(x)
limxa(f(x)g(x))=limxaf(x)limxag(x)
limxa(f(x)·g(x))=limxaf(x)·limxag(x)
limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x),čelimxag(x)/=0

Seznam najpogostejših limit

limxac=c
limxx1=0
limxx=
limxax=0, če 1<a<1
limx(1+x1)x=e
limx0xsinx=1
limxlnx=

Računanje limit

Limite računamo na naslednji način:

  1. Najprej v limito vstavimo namesto x vrednost, h kateri se x približuje.

    • limx2x+23x2+x+1=413
    • Če dobimo rezultat, smo končali.
  2. Če dobimo 00, potem moramo uporabiti katerega od naslednjih trikov:
  3. Števec in imenovalec razstavimo in okrajšamo. Potem spet vstavimo vrednost v limito.

    • limx0x2xx2+x=limx0x(x1)x(x+1)=limx0x1x+1=1
  4. Če nastopa v ulomku koren v razliki, potem racionaliziramo. Potem zopet poskusimo z vstavljanjem vrednosti.

    • limx0x1+x1=limx01+x1x1+x+1=limx011+x+1=21

PREMISLITE

Zakaj v točki 3. smemo krajšati z x?

Odgovor

Imamo limito, ko gre x0, in želimo krajšati z x. To lahko storimo, ker se x samo približuje 0, vrednosti 0 pa ne zavzame. Torej krajšamo z x/=0, kar je dovoljeno.

Enako velja za katerikoli drug izraz, s katerim želimo krajšati ulomek pri računanju limit.

Limite kotnih funkcij

Kadar računamo limite kotnih funkcij, si pomagamo z naslednjim pravilom:

limx0xsinx=1.

Zgled 1:

limx0xsin2x=limx02x2sin2x=limx02·limx02xsin2x=2·1=2

Zgled 2:

limx0xsinx1cosx
=
limx0xsinx(1+cosx)(1cosx)(1+cosx)
=
limx01cos2xxsinx(1+cosx)
=
=limx0sin2xxsinx(1+cosx)
=
limx0sinxx(1+cosx)
=
limx0xsinx·limx011+cosx
=
=1·11+1
=
21

Neskončna limita

Do zdaj smo obravnavali dve možnosti, ki ju dobimo pri računanju limite, definirano vrednost in 00. Zdaj pa razložimo še, kaj pomeni a0.

Poglejmo limx21(x2)2. Če namesto x vstavimo 2, dobimo 01. Ko se vrednost x bliža vrednosti 2, vrednost ulomka 1(x2)2 raste čez vse meje. Dobimo neskončno limito:

limx21(x2)2=.

Če ima izraz, katerega limito iščemo, negativen predznak, potem je limita tega izraza −∞.

limx2(1(x2)2)=

Limita v neskončnosti

Do zdaj smo gledali limite, ko gre xa k nekemu realnemu, ponavadi dosti majhnemu številu a. Kaj pa, ko x raste v neskončnost?

Pglejmo limito limxxx1. V to limito ne moremo kar vstaviti . Oglejmo si obnašanje funkcije, ko x raste. xx1 je vedno bližje 1, nikoli pa 1 ne doseže, ker je števec večji od imenovalca. limxxx1=1

Limita funkcije v neskončnosti je podobna limiti zaporedja, samo da smo pri zaporedjih gledali samo vrednosti naravnih števil n, tu pa vrednosti vseh realnih števil x.

Limito v neskončnosti računamo na enak način kot limito zaporedja. Veljajo enaka pravila in postopki računanja:

  1. limxx1=0
  2. Kadar imamo ulomek, delimo z največjo potenco x.
  3. Če nastopa v ulomku koren v razliki, potem racionaliziramo.

Asimptote funkcij

Limita grafično predstavlja premico. Kadar imamo neskončno limito, je to navpična premica. Graf funkcije se premici približuje, ko y raste čez vse meje. Tej premici rečemo tudi navpična asimptota (ali pol, kot jo imenujemo pri racionalnih funkcijah).

Kadar govorimo o limiti v neskončnosti, je premica vodoravna. Graf funkcije se premici približuje, ko x raste čez vse meje. Govorimo o vodoravni asimptoti.

(navpicna_asimptota.png) (vodoravna_asimptota.png)
0%
0%