Kadar imamo krivuljo, ki ni premica, naklonskega kota in smernega koeficienta ne moremo izračunati za celo krivuljo. Lahko pa izračunamo naklonski kot in smerni koeficient premice, ki poteka skozi dve bližnji točki na krivulji. Izberemo si števili x0 in x0+h, določimo pripadajoči točki na krivulji, ju povežemo s premico in tako dobimo približen naklon krivulje med izbranima točkama.

Izrazu hf(x0+h)−f(x0) rečemo diferenčni količnik. Predstavlja smerni koeficient sekante skozi dve točki na krivulji (x0,f(x0)) in (x0+h,f(x0+h)). Pomembno je, da je h majhen, saj tako dobimo premico, ki je zelo blizu krivulje in zato približno opiše strmino krivulje med dvema točkama. Zanima pa nas ne samo približen naklon krivulje med dvema točkama, ampak točen naklon krivulje v neki točki.

Vemo že, da diferenčni količnik predstavlja naklon premice med dvema točkama oziroma približen naklon funkcije med tema dvema točkama. Ko h manjšamo, se točki, skozi kateri poteka sekanta, približujeta in ko je h=0, točki sovpadeta. Premica sekanta postane tangenta na funkcijo v dani točki, limita diferenčnega količnika pa je enaka odvodu funkcije v tej točki.

Vrednost odvoda funkcije v dani točki je torej enaka smernemu koeficientu tangente na krivuljo v dani točki. To pomeni, da odvod funkcije pove, kakšen je naklon krivulje v dani točki.

Ker je odvod f′(x) tudi funkcija, lahko narišemo njen graf. Graf odvoda ponazarja, kako se naklon funkcije f(x) spreminja, ko spreminjamo x.

Geogebra datoteka

Grafični pomen odvoda je naklon premice tangente v dani točki. To pomeni, da lahko s pomočjo odvoda izračunamo enačbo tangente v dani točki.

Zgled:

Dana je krivulja y=x3+1. Določi enačbo tangente na krivuljo skozi točko (1,2).

• Najprej izračunamo odvod funkcije: y′=3x2.
• Potem izračunamo vrednost odvoda v točki (1,2): y′(1)=3.
• S tem smo dobili smerni koeficient tangente k=3.
• Na koncu še izračunamo enačbo tangente s pomočjo formule y−y1=k(x−x1) tako da za (x1,y1) vstavimo dano točko (1,2): y−2=3(x−1)
• Dobimo y=3x−1.

Slika tangente Skrij sliko

Če poznamo naklon tangente, lahko izračunamo tudi enačbo premice normale skozi dano točko na krivulji. Normala na krivuljo skozi dano točko je pravokotnica na tangento skozi to točko. Smerni koeficient kn normale dobimo po formuli kn=−1kt, kjer je kt smerni koeficient tangente, ki ga dobimo z odvodom.

• Funkcija narašča, če iz x2>x1sledif(x2)>f(x1).
• Funkcija pada, če iz x2>x1sledif(x2)<f(x1).

Iz grafa funkcije lahko razberemo naraščanje in padanje funkcije.

Funkcija narašča za x<x1 in x>x2 in pada za x1<x<x2.

Če pa grafa funkcije ne poznamo, lahko naraščanje in padanje funkcije ugotovimo z odvodom.

• Funkcija je naraščajoča za tiste x, za katere je f′(x)>0.
• Funkcija je padajoča za tiste x, za katere je f′(x)<0.

Stacionarne točke so točke na krivulji, v katerih je odvod funkcije enak nič

To pomeni, da je smerni koeficient tangente enak 0, kar pomeni, da je tangenta v taki točki vzporedna z osjo x.

Na sliki poglejmo, kakšne so možne stacionarne točke.

Poglejmo, kako računsko določimo minimume in maksimume med stacionarnimi točkami.

• V točki A je minimum. Levo od točke A funkcija pada, desno pa narašča. Z odvodom to definiramo takole:

   

  Če je levo od x0 odvod funkcije f′(x) negativen, desno pa pozitiven, potem je v x0 lokalni maksimum funkcije.

• V točki B je maksimum. Levo od točke B funkcija narašča, desno pa pada:

   

  Če je levo od x0 odvod funkcije f′(x) pozitiven, desno pa negativen, potem je v x0 lokalni maksimum funkcije.

• V točki C ni ne minimum ne maksimum. Levo in desno od točke C funkcija narašča:

   

  Če je levo in desno od x0 odvod funkcije f′(x) enako predznačen (obakrat negativen ali obakrat pozitiven), potem v x0 ni lokalnega ekstrema.

Računanje ekstremov nam prav pride v praksi.

Zgled:

Radi bi zgradili leseno hišo s prostornino 80m3 in višino 5m. Kakšni naj bosta dolžina in širina te hiše, da bomo za stene (brez stropa in tal) porabili čim manj materiala?

Nalogo rešimo tako, da tisto količino, ki naj bo največja ali najmanjša, proglasimo za funkcijo, potem izračunamo odvod te funkcije, ga izenačimo z 0 in določimo ekstreme. Med ekstremi potem poiščemo tistega, ki ga iščemo.

Rešitev zgleda:

• Količina, ki naj bo najmanjša, je površina sten. Napišemo enačbo za izračun: P=2av+2bv (a je dolžina, b je širina, v je višina 5m).

  • P=10a+10b (za v smo vstavili dan podatek)

• Ker imamo v enačbi dve neznanki, v funkciji pa želimo samo eno, eno izrazimo z drugo s pomočjo enačbe za volumen.

  • V=abv=5ab=80
  • b=5a80=a16
• b vstavimo v enačbo za P: P=10a+10a16=10a+a160
• Dobili smo funkcijo, ki ima samo eno neznanko. To funkcijo zdaj odvajamo: P′=10+a2−160

• In odvod izenačimo z 0, da dobimo stacionarne točke:

  • 10+a2−160=0
  • 10a2−160=0
  • a2−16=0
  • (a−4)(a+4)=0
• Dobimo dve vrednosti za a, a1=4, a2=−4. Ker dolžina stene ne more biti negativna, pride v poštev samo a=4.

• Lahko se še prepričamo, da smo res dobili minimum:

  • Izračunamo vrednost odvoda v 2 in 5 (levo in desno od 4):
  • P′(2)=−30, vrednost levo je negativna.
  • P′(5)=3,6, vrednost desno je pozitivna.
  • Ker je vrednost odvoda levo od stacionarne točke negativna, desno pa pozitivna, smo dobili minimum funkcije.
• Izračunamo še stranico b: b=a16=4.
• Tloris hiše, da bo površina sten najmanjša, naj bo torej kvadrat s stranico 4m. Površina hiše bo P=80m2.