Naklonski kot in smerni koeficient premice
Naklonski kot in smerni koeficient nam povesta strmino premice.
Naklonski kot premice izračunamo iz definicije tangensa kota. Hkrati pa ista formula velja za smerni koeficient premice. Obe količini sta torej povezani.
Pri premici je strmina enaka za celo premico, zato je vseeno, kateri dve točki na premici vzamemo, da izračunamo oziroma . Pri krivuljah, ki niso premice, pa to ne velja. Kako izračunamo strmino poljubne krivulje, si bomo ogledali v nadaljevanju.
Diferenčni količnik
Kadar imamo krivuljo, ki ni premica, naklonskega kota in smernega koeficienta ne moremo izračunati za celo krivuljo. Lahko pa izračunamo naklonski kot in smerni koeficient premice, ki poteka skozi dve bližnji točki na krivulji. Izberemo si števili in , določimo pripadajoči točki na krivulji, ju povežemo s premico in tako dobimo približen naklon krivulje med izbranima točkama.
Izrazu rečemo diferenčni količnik. Predstavlja smerni koeficient sekante skozi dve točki na krivulji in . Pomembno je, da je majhen, saj tako dobimo premico, ki je zelo blizu krivulje in zato približno opiše strmino krivulje med dvema točkama. Zanima pa nas ne samo približen naklon krivulje med dvema točkama, ampak točen naklon krivulje v neki točki.
Če je prevelik, se lahko zgodi, da se premica med izbranima točkama zelo oddalji od krivulje in ne ponazarja več naklona krivulje.
Odvod
Če manjšamo, se točki vedno bolj približujeta in ko je , točki sovpadeta. Manjšanje izrazimo z limito diferenčnega količnika.
Geogebra datoteka
Če ta limita obstaja, jo označimo z in ji rečemo odvod funkcije f. Na ta način dobimo novo funkcijo . Če izračunamo to limito za točno določeno točko , potem je vrednost odvoda v točki .
Geometrijski pomen odvoda
Vemo že, da diferenčni količnik predstavlja naklon premice med dvema točkama oziroma približen naklon funkcije med tema dvema točkama. Ko manjšamo, se točki, skozi kateri poteka sekanta, približujeta in ko je , točki sovpadeta. Premica sekanta postane tangenta na funkcijo v dani točki, limita diferenčnega količnika pa je enaka odvodu funkcije v tej točki.
Vrednost odvoda funkcije v dani točki je torej enaka smernemu koeficientu tangente na krivuljo v dani točki. To pomeni, da odvod funkcije pove, kakšen je naklon krivulje v dani točki.
Ker je odvod tudi funkcija, lahko narišemo njen graf. Graf odvoda ponazarja, kako se naklon funkcije spreminja, ko spreminjamo .
Tangenta je premica, ki se krivulji najbolj prilega v okolici dane točke. To pomeni, da stran od te točke krivuljo lahko seka ali pa se lahko krivulje dotika še v kateri drugi točki. Poglejte dva primera:
Odvajanje funkcij po definiciji
Vzemimo funkcijo in izračunajmo njen odvod po definiciji.
| Definicija odvoda: | |
| Namesto f(x) in f(x+h) vstavimo dano funkcijo: | |
| Izračunamo števec ulomka: | |
| Odštejemo in delimo s h: | |
| Izračunamo limito (vstavimo h=0 v izraz): |
Dobili smo rezultat, odvod funkcije je
Odvodi elementarnih funkcij
Po definiciji lahko izračunamo odvode vseh funkcij, vendar si za hitrejše računanje kar zapomnimo odvode elementarnih funkcij.
|
| |||||||||||||||||||||||||||
|
|
Pravila za odvajanje
Na voljo imamo tudi nekaj pravil za odvajanje, kadar želimo odvajati bolj kompleksne funkcije.
1. ODVOD VSOTE IN RAZLIKE DVEH FUNKCIJ | Zgled:
|
2. ODVOD PRODUKTA KONSTANTE IN FUNKCIJE | Zgled:
|
3. ODVOD PRODUKTA DVEH FUNKCIJ | Zgled:
, , |
4. ODVOD KOLIČNIKA DVEH FUNKCIJ | Zgled:
|
5. ODVOD SESTAVLJENE FUNKCIJE | Zgled:
, je potenca, je
|
Zgledi uporabe pravil za odvajanje
1.
2.
3.
Rešitev
Uporaba odvoda - tangenta in normala
Grafični pomen odvoda je naklon premice tangente v dani točki. To pomeni, da lahko s pomočjo odvoda izračunamo enačbo tangente v dani točki.
Zgled:
Dana je krivulja Določi enačbo tangente na krivuljo skozi točko
Če poznamo naklon tangente, lahko izračunamo tudi enačbo premice normale skozi dano točko na krivulji. Normala na krivuljo skozi dano točko je pravokotnica na tangento skozi to točko. Smerni koeficient normale dobimo po formuli , kjer je smerni koeficient tangente, ki ga dobimo z odvodom.
Kot med krivuljama je kot med tangentama na krivulji v njunem presečišču. Točka je presečišče krivulj in . Premica je tangenta v točki na krivuljo , premica je tangenta v točki na krivuljo .
Najprej izračunamo presečišče krivulj. Potem izračunamo odvoda obeh krivulj in vrednosti odvoda v presečišču, da dobimo koeficienta obeh tangent. Nazadnje uporabimo formulo
Obstajata dva kota med krivuljama. Zaradi absolutne vrednosti nam formula da tangens ostrega kota, vendar lahko enostavno izračunamo tudi drugi kot, saj je njuna vsota .
Poiščimo kot med krivuljama in .
Naraščanje in padanje
Iz grafa funkcije lahko razberemo naraščanje in padanje funkcije.
Funkcija narašča za in in pada za .
Če pa grafa funkcije ne poznamo, lahko naraščanje in padanje funkcije ugotovimo z odvodom.
Stacionarne točke
Stacionarne točke so točke na krivulji, v katerih je odvod funkcije enak nič
To pomeni, da je smerni koeficient tangente enak 0, kar pomeni, da je tangenta v taki točki vzporedna z osjo .
Na sliki poglejmo, kakšne so možne stacionarne točke.
Stacionarne točke funkcije določimo tako, da najprej izračunamo odvod funkcije, potem pa ta odvod izenačimo z in izračunamo -e, za katere ima enačba vrednost . Na koncu dobljene vstavimo v enačbo funkcije, da dobimo pripadajoče in zapišemo dobljene točke.
, ,
, ,
, ,
Ekstremi
Največje (maksimum) in najmanjše (minimum) vrednosti funkcije s skupno besedo imenujemo ekstremi funkcije. Grafično jih prepoznamo kot "vrhove" in "doline" na grafu, formalno pa ekstreme definiramo takole:
Funkcija ima lahko več lokalnih maksimumov in minimumov ampak samo en globalni maksimum in en globalni minimum. Ta dva definiramo takole:
Točke , in so lokalni minimumi, točki in sta lokalna maksimuma. Točka je globalni minimum.
Zakaj točka D ni globalni maksimum?
Ekstremi med stacionarnimi točkami
Poglejmo, kako računsko določimo minimume in maksimume med stacionarnimi točkami.
| 
| 
|
V točki A je minimum. Levo od točke A funkcija pada, desno pa narašča. Z odvodom to definiramo takole:
V točki B je maksimum. Levo od točke B funkcija narašča, desno pa pada:
V točki C ni ne minimum ne maksimum. Levo in desno od točke C funkcija narašča:
Ekstreme funkcije določimo tako, da najprej poiščemo stacionarne točke, potem pa določimo predznak odvoda med stacionarnimi točkami.
Določimo stacionarne točke:
Določimo predznak odvoda (v enačbo odvoda vstavimo eno izmed vrednosti na intervalu, za katerega določamo predznak):
V je lokalni maksimum, v je lokalni minimum.
Ni nujno, da je kateri od lokalnih ekstremov tudi globalni ekstrem. Zgled:
Levo in desno od označenih točk vrednosti funkcije rastejo v neskončnost. V točki D, ki je sicer največji od lokalnih maksimumov, torej ni največja vrednost funkcije na celotnem definicijskem območju, zato točka D ni globalni maksimum.
Ekstremalni problemi
Računanje ekstremov nam prav pride v praksi.
Zgled:
Radi bi zgradili leseno hišo s prostornino in višino . Kakšni naj bosta dolžina in širina te hiše, da bomo za stene (brez stropa in tal) porabili čim manj materiala?
Nalogo rešimo tako, da tisto količino, ki naj bo največja ali najmanjša, proglasimo za funkcijo, potem izračunamo odvod te funkcije, ga izenačimo z 0 in določimo ekstreme. Med ekstremi potem poiščemo tistega, ki ga iščemo.
Rešitev zgleda:
Količina, ki naj bo najmanjša, je površina sten. Napišemo enačbo za izračun: ( je dolžina, je širina, je višina ).
Ker imamo v enačbi dve neznanki, v funkciji pa želimo samo eno, eno izrazimo z drugo s pomočjo enačbe za volumen.
In odvod izenačimo z 0, da dobimo stacionarne točke:
Lahko se še prepričamo, da smo res dobili minimum:
PREMISLITE
V enačbo za površino vstavite za dolžino in širino drugačne številke in se prepričajte, da je izračunana res najboljša.
Enačba za površino je . Najmanjša možna površina, ki smo jo izračunali, je .
Iz enačbe za volumen smo dobili naslednjo enačbo: .
Obe izračunani površini sta večji od površine, izračunane s pomočjo odvoda in ekstremov.
Sami lahko poskusite še druge dolžine sten in .
