Kaj je kvadratni koren?
Večkrat smo pri reševanju enačb prisiljeni izračunati število, ki nam po kvadriranju daje rezultat . Vedeli bi torej radi, koliko je , če je . Ker je kvadrat vsakega realnega števila nenegativno realno število, mora biti .
Naša enačba ima dve rešitvi:
in
Za vsako nenegativno realno število označimo s nenegativno realno število - ki ga imenujemo kvadrani koren števila - za katerega velja
|
Preberi spodnjo poved in jo dopolni. V zapisu imenujemo znak koren, število pa korenjenec.
Odgovor je pravilen.
Odgovor je napačen. Pravilni odgovor je kvadratni.
Zgled 1
Rešimo zdaj enačbo . Iščemo torej števila, katerih kvadrat je enak . Takšni števili sta dve: , kar pomeni, da ima zgornja enačba dve rešitvi: in
Premislimo zdaj, kaj se zgodi, če število zamenjamo s poljubnim številom . Koliko rešitev ima enačba ?
Odgovor
Rešitvi enačbe sta tako
in
Kadar je število , ima enačba dve rešitvi (kvadrata nasprotnih si števil sta enaka). Če je število , reši enačbo samo , če je število , enačba nima realnih rešitev.
Naloga 1
ne moremo izračunati, saj nobeno realno število nima negativnega kvadrata.
Naloga 2
Računaj brez kalkulatorja.
Pravilno.
Narobe.
Naloga 3
Kvadratni koren kot funkcija
|
Na sliki je graf funkcije . Radi bi poiskali inverzno funkcijo h kvadratni funkciji. Zato opazujemo graf kvadratne funkcije in razmišljamo na katerem intervalu bo smiselno definirati inverzno funkcijo. Tam, kjer je kvadratna funkcija bijektivna. Odločimo se za desno polovico kvadratne parabole, torej za interval .
Funkcija kvadratni koren je torej definirana za nenegativna realna števila in je inverzna h kvadratni funkciji: .
Inverzna funkcija
Spomnimo se, da zapis pomeni funkciji inverzno funkcijo (in ne njene obratne vrednosti).
Kako zdaj narisati graf inverzne funkcije? Bijektivni del kvadratne parabole (desno polovico) bomo prezrcalili čez simetralo lihih kvadrantov.
Inverzna funkcija 2
Kadar pa smo v stiski s časom, lahko funkcijo narišemo tudi s pomočjo nekaterih značilnih točk, ki jih kasneje povežemo s krivuljo. Predlagam izračun naslednjih značilnih točk:
| 0 | 0,25 | 1 | 4 | 9 | |
Tako narisan graf korenske funkcije seveda ni zelo natančen, za ponazoritev lastnosti funkcije kvadratni koren pa povsem zadošča.
Funkcija ima naslednje lastnosti: definirana je na intervalu , zaloga vrednosti je interval , funkcija je naraščajoča, , funkcija je bijektivna, konkavna, navzdol omejena z
Računanje s kvadratnim korenom
Za računanje s kvadratnimi koreni veljajo naslednja pravila: za nenegativni realni števili a in b je za vsako realno število . |
Izpeljava pravil
Z napisanimi pravili si bomo pomagali pri reševanju spodnjih nalog.
Če je , je pravilo logična posledica definicije kvadratnega korena, za pa je kvadrat števila pozitiven, vrednost kvadratnega korena pa je število . Oba zapisa hitro združimo v enega:
Naloga 4
Izračunaj
Kadar vrednosti kvadratnih korenov ne znamo izračunati na pamet (ker predstavljajo iracionalna števila), bomo te korene v rezultatih ohranjali. Le tako bodo rezultati točni. Če pa bomo eksplicitno želeli številčni rezultat (do določene natančnosti), si bomo pomagali s kalkulatorjem.
Naloga 5
Izračunaj vrednost spodnjega izraza (brez kalkulatorja):
Naloga 6
Izračunaj
Ker so korenjenci velika števila, bomo kvadratne korene delno korenili (zapisali jih bomo kot produkt dveh faktorjev, tako da bomo en faktor znali koreniti):
in izraz prepisali v
Naloga 7
Poenostavi izraz
Dobro premislimo ali so števila znotraj absolutnih vrednosti pozitivna ali negativna. Npr.: ker je , se vrednost giblje med številoma in in je zato . Potem je . Zgornji izraz lahko po premisleku prepišemo v:
Naloga 8
Koliko je
Ker je , je
Seveda se vsak dvočlenik podobne oblike ne da zapisati kot popolni kvadrat in izračun kvadratnega korena je potem težji ali celo brez kalkulatorja nemogoč. Poskusiti pa je vredno.
Geometrijske konstrukcije kvadratnih korenov
Geometrijsko gledano so zanimive konstrukcije tistih kvadratnih korenov, katerih vrednosti so iracionalna števila. Že več stoletih pred našim štetjem so vedeli, da je število iracionalno. Sicer so poznali nekaj približkov
(npr. ),
ki pa za natančno konstrukcijo ne zadoščajo. Zato so si pomagali s Pitagorovim izrekom. Število je predstavljala dolžina diagonale v kvadratu s stranico .
Še danes si pri risanju kvadratnih korenov največkrat pomagamo z izreki v pravokotnem trikotniku (Pitagorov, Evklidov in višinski izrek), kot smo spoznali že v prvem letniku.
Narišimo število na dva načina.
Kot zanimivost omenimo, da so že egipčanski in babilonski matematiki uporabljali kot približek za število število . Števili se ujemata na dve mesti .
Racionalizacija
Z racionalizacijo se bomo v imenovalcih ulomkov znebili korenov, saj so takšni zapisi matematično elegantnejši. Ulomke bomo preoblikovali v ulomke z enako vrednostjo. Pomnožili jih bomo z ulomkom, katerega vrednost bo enaka , tako da se vrednost prvotnega izraza ne bo spremenila. Kako zapisati število 1 pa je odvisno od ulomka, ki ga racionaliziramo.
Postopek racionalizacije si bomo ogledali skozi primere.
Primer 1
Racionaliziraj: .
Ulomek bomo pomnožili z 1:
Primer 2
Racionaliziraj .
Izkoristili bomo razcep razlike kvadratov dveh števil: in se tako elegantno znebili kvadratnih korenov v imenovalcu. Imenovalec bo predstavljal enega izmed faktorjev v razcepu razlike kvadratov. Z drugim faktorjem tega razcepa pa bomo pomnožili števec in imenovalec.
Primer 3
Poenostavi izraz
Naloga 9
Na koncu gradiva rešimo tale izziv. Racionaliziraj:
