Zdaj vemo, da kotne funkcije ostrih kotov vpeljemo s pomočjo pravokotnega trikotnika.

Kaj pa, če koti niso ostri, če merijo , ali več kot ?

V tem primeru potrebujemo t. i. kotomerno, enotsko krožnico. Kotomerna ji rečemo zato, ker v njej merimo (odmerjamo) kote, enotska pa zato, ker njen polmer meri enoto. Kot v krožnici odmerimo tako, da je vrh kota v koordinatnem izhodišču, prvi (nepremični) krak kota leži na pozitivnem poltraku osi , drugi (premični) krak pa je odvisen od velikosti kota, zato se krak lahko nahaja v katerem koli od štirih kvadrantov.

Z miško primi točko in jo premikaj po enotski krožnici v vse štiri kvadrante. Opazuj odmerjanje kota ob spreminjanju premičnega kraka kota.

Naj bo pravokotna projekcija točke na os . Opazujmo pravokotni trikotnik , ko je točka v prvem kvadrantu, in zapišimo sinus in kosinus ostrega kota :

.

Tu sta in koordinati točke .

Dobljeni zvezi se zdita primerni za to, da ju uporabimo tudi za kote , ki niso ostri, in tako vpeljemo kotni funkciji sinus in kosinus na naslednji način:

Opazujmo spreminjanje koordinat točke (s tem pa tudi vrednosti funkcij sinus in kosinus), ko kroži po enotski krožnici.

Kaj lahko povemo o koordinatah gibajoče se točke ?

Ker se giblje po krožnici, je njeno gibanje omejeno tako v vodoravni kot v navpični smeri. Največja vrednost , ki jo doseže, je , prav tako je tudi največja vrednost koordinate . Najmanjša vrednost , kot tudi najmanjša vrednost , je . Zato rečemo, da sta sinus in kosinus omejeni funkciji. Največja vrednost, ki jo funkciji dosežeta, je , najmanjša vrednost pa .

Pozor!
Če se ti bo kdaj koli primerilo, da boš za vrednost funkcij sinus ali kosinus dobil števila, ki bodo večja od ali manjša od , vedi, da si se nekje krepko zmotil!
Ali si razumel, o čem smo do zdaj govorili, bo preverila naslednja naloga.

Dopolni tabelo.
Določi vrednosti sinusa in kosinusa za dane kote, pri čemer naj ti pomaga prej opazovana točka (en primer je že izdelan).

Izpolni tabelo.

V spodnji tabeli določi, kakšen predznak imata funkciji sinus in kosinus po posameznih kvadrantih. Če je funkcija pozitivna, to označi s , če pa je negativna, pa z znakom .

Zdaj pa premislimo še, kje v enotski krožnici bo viden tangens in kje kotangens izbranega kota.

V obeh primerih potrebujemo dva podobna pravokotna trikotnika.

Ker sta si trikotnika in podobna, se ujemata v razmerju istoležnih stranic, zato velja:

, torej je (imamo enotsko krožnico), kar lahko poenostavimo še v , saj vemo, da je .

Zveza nam pove, kje odčitamo vrednost funkcije tangens.

Pozor!
Če premični krak tangente ne seka (če je kot v II. ali III. kvadrantu), narišemo podaljšek kraka skozi koordinatno izhodišče, ki pa tangento zagotovo seka. Če krak tangento seka pod osjo , odseku pripišemo negativni predznak.

Podobno premislimo, kje bomo lahko odčitali vrednost funkcije kotangens. Slika, ki nam v tem primeru pomaga, vključuje enotsko krožnico z zgornjo tangento (postavljeno v točki ).

Podobna trikotnika, ki nas zanimata, sta in . Njune stranice lahko postavimo v sorazmerje , kar je isto kot , iz tega pa sledi iskana zveza . Namesto odseka raje izberemo njemu skladni odsek .

Tudi v tem primeru velja podobno kot prej: če premični krak zgornje tangente ne seka (če je kot v III. ali IV. kvadrantu), narišemo podaljšek kraka skozi koordinatno izhodišče. Če krak seka tangento levo od osi , mu pripišemo negativni predznak.

Opazuj spreminjanje tangensa in kotangensa na spodnji animaciji in določi njun predznak po kvadrantih.

Dopolni tabelo.

V spodnji tabeli določi, kakšen predznak imata funkciji tangens in kotangens po posameznih kvadrantih. Če je funkcija pozitivna, to označi s , če pa je negativna, pa z znakom .

Izpolni še to tabelo.
Določi vrednosti funkcij tangens in kotangens za kote v tabeli. Pomagaj si s prejšnjimi slikami ali pa z zvezo . Če vrednosti funkcije ni mogoče določiti, izberi znak .

Razen komplementarnih kotov, ki merita skupaj , poznamo tudi suplementarne kote.

Suplementarna kota sta kota, ki skupaj merita .

Tako kot se komplementarna kota dopolnita v pravi kot, se suplementarna kota dopolnita v iztegnjeni kot.

Vrišimo dva taka kota v enotsko krožnico (oba moramo odmeriti v pozitivni smeri od pozitivnega poltraka osi ) in primerjajmo koordinate točk in ! Točko premikaj z miško v prvem kvadrantu.

Kaj lahko povemo na podlagi slike? Primerjajmo koordinate točk in , saj sta ti dve točki odgovorni za sinus in kosinus kotov ter .

Ker je , je .

Ker je , je .

Če delimo prvo enakost z drugo, dobimo .

Če pa delimo drugo enakost s prvo, se izkaže, da je .

Povzemimo.

S pravkar pridobljenim znanjem lahko določimo točne vrednosti kotnih funkcij za kote , in , saj so ti koti suplementarni koti za kote , in .

Določimo kotne funkcije kota .

Pri predzadnjem koraku smo si pomagali z lastnostmi kotnih funkcij komplementarnih kotov. Vrednosti tangensa in kotangensa lahko določimo tudi z deljenjem sinusa in kosinusa iz prvih dveh računov.

Za utrjevanje znanja pa ti je spet na voljo nekaj dodatnih nalog.

Določi kvadrant, v katerem leži dani kot , potem pa še predznake vseh štirih kotnih funkcij danega kota (pozitivno vrednost označi s , negativno pa z ).

Določi predznake danih izrazov.

Določi vrednosti danih izrazov. Če so nedefinirani, to označi s /.

Izračunaj vrednost izrazov.