jsMath

Geometrijska telesa - vaje

Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Geometrijska telesa - vaje

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Urjenje in utrjevanje geometrijskih teles.

Sodelujoče organizacije

Izvedbo projekta je omogočilo sofinanciranje Evropskega socialnega sklada Evropske unije in Ministrstva za šolstvo in šport. Pri tehnični izvedbi projekta so sodelovali: Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko in podjetje Hruška d.o.o.

Telesa

Povlecite obrazce k pravim slikam.

(mreza_stozca.png)

(mreza_valja.png)

(mreza_kvader.png)

(mreza_kocke.png)

P=πr(r+s)

V=3πr2v

P=πr(r+v)

V=πr2v

P=2ab+2ac+2bc

V=abc

P=6a2

V=a3

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Še enkrat si preberite poglavje Geometrijska telesa - teorija in poskusite rešiti nalogo.
Namig: k eni sliki spadata dva obrazca.

Ponovno Preskoči

Pokončna tristrana prizma

Pokončna tristrana prizma ima prostornino 117,6cm3. Osnovna ploskev prizme je enakokraki trikotnik s krakoma a=b=7cm in osnovnico c=8,4cm. Koliko meri njena površina?

P=47,04cm2

P=159,04cm2

P=235,2cm2

P=102,5cm2

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Skica prizme:

(vt_vaja1.png)

Izračun višine na osnovnico	Izračun ploščine osnovne ploskve	Prostornina ali volumen	Izračun površine
c2=va2+(a2)2 72=va2+4,22 49=va2+17,64 va2=31,36 va=5,6cm	S=2a·va S=28,4·5,6 S=23,52cm2	V=Sv 117,6=23,52·v v=5cm	P=2S+ov P=2·23,52+(7+7+8,4)·5 P=47,04+112 P=159,04cm2

Površina prizme je 159,04cm2.

Volumen bazena

Bazen dolžine 16 m, širine 4 m in višine 1,5 m bi radi napolnili z vodo. Koliko litrov vode potrebujemo, da ga napolnimo?

96000

96

960

9600

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Bazen je v obliki kvadra in ker naloga sprašuje, koliko litrov potrebujemo, da ga napolnimo, je potrebno izračunati prostornino ali volumen bazena.
V=abc
V=16·4·1,5
V=96m3
Ker pa naloga zahteva rezultat v litrih, ga moramo pretvoriti. Ker je 1l=1dm3 in 1m3=1000dm3, je 96m3=96000dm3 in zato 96000 litrov.

Prizma, kocka in kvader

V okenca vpišite pravilne odgovore na zastavljena vprašanja.

Koliko robov ima kocka?

Koliko mejnih ploskev ima kvader?

Koliko oglišč ima petstrana prizma?

Koliko osnovnih ploskev ima prizma?

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Če preštejemo vse robove kocke, naštejemo dvakrat po 4 robove na osnovnih ploskvah in še štiri stranske robove, skupaj torej 12 robov. Kvader ima 2 osnovni ploskvi in 4 stranske, skupaj 6 mejnih ploskev. Petstrana prizma ima za osnovno ploskev petkotnik, ki ima 5 oglišč, ker pa ima prizma 2 osnovni ploskvi, ima petstrana prizma skupaj 10 oglišč.
Pravilni odgovori bi bili po vrsti 12, 6, 10, 2.

Valj

Ploščina osnega preseka enakostraničnega valja je 144cm2. Koliko dm2 blaga potrebujemo, da ovijemo ta valj?

2,16

216

679

6,79

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Ker je valj enakostraničen, lahko izračunamo polmer tega valja:
S=2r·2r
S=4r2
144=4r2
r=6cm
Potrebno je izračunati površino valja, da bi izvedeli, koliko blaga potrebujemo, da ovijemo valj:
P=2πr(r+2r)
P=6πr2
P=6π·62
P=216π
P=679cm2
Rezultat je v enoti cm2, zato ga pretvorimo v željeno enoto, v dm2. Ker je 1cm2=0,01dm2, je 679cm2=6,79dm2. Pravilen odgovor je, da za ovoj valja potrebujemo 6,79dm2 blaga.

Valj

Plašč valja s polmerom osnovne ploskve 3cm meri 15πcm2, kolikšna je prostornina valja?

V=18,8πcm3

V=30πcm3

V=22,5πcm3

V=25,2πcm3

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Plašč valja je pravokotnik s stranicama o in v, kjer je o obseg kroga, osnovne ploskve valja in v višina valja. Prostornina pa se izračuna z obrazcem V=πr2v. Iz podatkov lahko izrazimo višino in izračunamo prostornino:

Spl=o·v
Spl=2πrv
15=2π·3·v
v=2,5cm

V=πr2v
V=π·32·2,5
V=22,5πcm3

Vrtenje okoli osi

Kaj dobimo, če zavrtimo za polni kot okoli ene stranice:

pravokotnik

kvader

valj

prizmo

(vt_vaja7a.png)

pravokotni trikotnik

stožec

piramido

valj

(vt_vaja7b.png)

polkrog

stožec

valj

kroglo

(vt_vaja7c.png)

Pravilno

Odgovori so pravilni.

Napačno

Odgovori so napačni. Če zavrtimo pravokotnik okoli stranice, dobimo valj. Če zavrtimo pravokotni trikotnik okoli stranice, dobimo stožec, in če zavrtimo polkrog okoli premera, dobimo kroglo.

Piramida

Podan je pravilni tetraeder.

(vt_vaja8.png)

Koliko meri kot med stransko in osnovno ploskvijo? °

Osnovni rob tetraedra meri 3,4cm. Koliko meri površina tetraedra, če jo zaokrožite na celo število? cm

Ploščina osnovne ploskve tetraedra meri 24,6cm2, njegova višina pa 4,3cm. Koliko meri prostornina tetraedra? cm3

Pravilno

Odgovori so pravilni.

Napačno

Odgovori niso pravilni.
Kot med stransko in osnovno ploskvijo je kot v trikotniku stranske ploskve. Ker gre za enakostranični trikotnik, lahko brez računanja ugotovimo, da je kot 60°.
Obrazec za površino tetraedra je izpeljan v gradivu Geometrijska telesa - teorija in je P=a2√3. Podan je osnovni rob, a, zato lahko izračunamo površino: P=3,42·√3=.20,02. Ker pa naloga zahteva rezultat, zaokrožen na celo število, je to 20cm.
Prostornina katerekoli piramide je V=3Sv. Podano imamo ploščino osnovne ploskve in višino, zato je prostornina tetraedra V=324,6·4,3=35,26cm3.

Pravilna 4-strana piramida

Pri pravilni 4-strani piramidi s površino 216cm2 sta osnovni rob in višina v razmerju 2:3. Koliko meri osnovni rob piramide?

a=9cm

a=6cm

a=8cm

a=10cm

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. P=S+Spl, ker pa je osnovna ploskev kvadrat, zapišemo P=a2+42ava oziroma P=a2+2ava. Za izračun potrebujemo še va, ki pa jo lahko dobimo iz podanega razmerja med osnovnim robom in višino:
v:a=2:3 ali 2a=3v⇒a=23v, lahko pa tudi v=32a.

(zgled_piramida.png)

Uporabimo Pitagorov izrek v trikotniku znotraj piramide in podano razmerje ter dobimo:
va2=v2+(a2)2
va2=(32a)2+(a2)2
va2=94a2+4a2
va2=3625a2
va=65a
Višino na osnovnico vstavimo v enačbo za izračun površine piramide, rezultat je:
216=a2+2a·65a
216=a2+35a2
216=38a2
a2=83·216
a2=81
a=9cm.

Osni presek stožca

Povlecite ploščine osnih presekov na desni k podatkom stožca na levi.

r=8cm
s=10cm

P=75πcm
s=2r

r=4cm
s=2r

r=2√3cm
v=√3cm

S=48cm2

S=25√3cm2

S=16√3cm2

S=6cm2

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Osni presek stožca je trikotnik, katerega ploščina je odvisna od dolžine stranic. Ker so stranice stožca vedno enake, je obrazec za izračun ploščine osnega preseka prav tako enak za vse stožce: S=22r·v=rv.

r=8cm s=10cm	P=75πcm s=2r	r=4cm s=2r	r=2√3cm v=√3cm
v2=s2−r2 v2=102−82 v=6cm	Gre za enakostranični stožec, njegova površina je 3πr2. Lahko izračunamo polmer: 75π=3πr2 r=5cm v2=(2r)2−r2 v2=3r2 v=r√3 v=5√3cm	Gre za enakostranični stožec: v2=3r2 v=r√3 v=4√3cm	Iz danih podatkov lahko izračunamo ploščino osnega preseka, saj imamo vse potrebne podatke.
S=8·6=48cm2	S=5·5√3=25√3cm2	S=4·4√3=16√3cm2	S=2√3·√3=6cm2

Prostornina stožca

Kot pri vrhu osnega preseka stožca meri 58°, stranica stožca pa 6,4cm. Koliko meri prostornina stožca, če jo zaokrožimo na celo število?

V=18πcm3

V=20πcm3

V=31πcm3

V=19πcm3

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen.

(vt_vaja11.png)

S pomočjo kotne funkcije lahko izračunamo polmer osnovne ploskve stožca, iz tega pa višino in prostornino stožca:

sin2α=rs
sin29°=r6,4
r=6,4·sin29°
r=3,1cm

s2=v2+r2
v2=s2−r2
v2=40,96−9,61
v=5,6cm

V=3πr2v
V=3π·3,12·5,6
V=17,94π
V=18πcm3

Kroglice

Dve kroglici premera 1cm in 2cm zlijemo v eno. Kakšen bo njen premer?

2−31cm

232cm

23cm

2−23cm

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Izračunati moramo skupno prostornino kroglic, saj gre za zlitino:
V1=34π·0,53, V1=61πcm3
V2=34π·1, V2=34πcm3
Skupna prostornina V=V1+V2=61π+34π=23π. Iz prostornine izračunamo polmer zlite kroglice:

V=34πR3

23π=34πR3

2R3=1

R=1√32

Ker pa so možni odgovori zapisani s potenco, zapišimo še rezultat s potenco: R=2−31.

Enakostranični valj in krogla

Enakostraničnemu valju včrtamo kroglo. Kakšno je razmerje površin?

(vt_vaja13.png)

Razmerje površin med enakostraničnim valjem in kroglo je : .

Pravilno

Odgovor je pravilen.

Napačno

Odgovor je napačen. Površina valja

VvaljaVkrogle=6πr24πR2=3r22R2

.
Izrazimo lahko polmer krogle: R2=r2+r2⇒R2=2r2.
Lahko nadaljujemo z računanjem razmerja:

3r22R2=3r22·2r2=43

Razmerje med površinama enakostraničnega valja in krogle je 3:4.

Rezultati

Kazalo

Telesa
Pokončna tristrana prizma
Volumen bazena
Prizma, kocka in kvader
Valj
Valj
Vrtenje okoli osi
Piramida
Pravilna 4-strana piramida
Osni presek stožca
Prostornina stožca
Kroglice
Enakostranični valj in krogla
Rezultati

Pomoč
Komentarji
Velikost črk
Zapiski
Za učitelja
Natisni

Natisni trenutno prosojnico
Natisni celotno gradivo

0%