jsMath

Diferencialni račun - vaje

Diferencialni račun - vaje

Avtor: Skupina NAUK

Več o projektu...

Pravilno ime

Kako rečemo izrazu hf(x+h)−f(x)?

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Izraz hf(x+h)−f(x) se imenuje diferenčni količnik. Limita tega količnika pa je odvod.

Naprej

Grafični pomen

Kaj grafično predstavljata diferenčni količnik in odvod funkcije v dani točki?

Diferenčni količnik
Odvod
(nal_o.png)
(nal_diferencni.png)

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Diferenčni količnik predstavlja naklon sekante, odvod pa naklon tangente.

Naprej

Velikost h

Ocenite velikost h, da bo sekanta skozi točki A in B približno opisovala naklon krivulje med tema dvema točkama. Pomagajte si z drsnikom na sliki. Pravilnih je več različnih odgovorov.

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Geogebra datoteka

Če je h med (vpišite nižjo vrednost) in (vpišite višjo vrednost), potem premica skozi točki A in B ponazarja naklon krivulje med tema dvema točkama.

Preveri

Odgovor je pravilen. Pravilni odgovori so vsi, ki vključujejo h med −0.6 in 1. Če bi vzeli h<−0.6, potem daljica AB seka "dolino", če bi vzeli h>1, pa daljica seka "hrib" in se dani krivulji ne prilega več dobro.

Oglejte si to še enkrat na spodnji animaciji:

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Naprej

Odgovor je napačen. Pravilni odgovori so vsi, ki vključujejo h med −0.6 in 1. Če bi vzeli h<−0.6, potem daljica AB seka "dolino", če bi vzeli h>1, pa daljica seka "hrib" in se dani krivulji ne prilega več dobro.

Oglejte si to še enkrat na spodnji animaciji:

Aplikacija GeoGebra se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Naprej

Kaj je odvod?

Kaj od naštetega predstavlja definicijo odvoda?

limh→0=hf(x+h)−f(x)
hf(x0+h)−f(x0)
x0+h
limx→0=xf(x+h)−f(x)

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Pravilen odgovor je limh→0=hf(x+h)−f(x).

Odvod je limita diferenčnega količnika. Diferenčni količnik pa je hf(x+h)−f(x).

Naprej

Odvajanje po definiciji

Dana je funkcija f(x)=x3−4x. Funkcijo odvajamo po definiciji limh→0=hf(x+h)−f(x)). Namesto f(x+h) in f(x) vstavimo dano funkcijo. Med ponujenimi odgovori izberite pravilnega.

limh→0=h((x+h)3−4(x+h))−(x3−4x)
limh→0=h(x3−4x+h)−(x3−4x)
limh→0=hx3−4x+h−x3−4x
limh→0=h(x+h)3−4(x+h)−x3−4x

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen.

  • f(x+h) pomeni, da v funkcijo f(x) namesto vseh x vstavimo x+h

    • dana funkcija je f(x)=x3−4x, zato je f(x+h)=(x+h)3−4(x+h)

  • ker je v ulomku pred f(x) minus, je pomembno, da ne pozabimo oklepajev

    • f(x+h)−f(x)=((x+h)3−4(x+h))−(x3−4x)
    • prvi oklepaj bi lahko spustili, saj ne vpliva na rezultat, drugi oklepaj pa je obvezen . Naprej

Odvod potenčne funkcije

1. Izberite pravilno formulo za odvod potenčne funkcije.



2. Dana je funkcija g(x)=x5. Izračunajte vrednost odvoda g′(x) za x=−1.

Odgovor: g′(−1)=



3. Izberite sliko, ki prikazuje izračunano vrednost.

(pot1.png)
(pot2.png)
(pot3.png)

Odgovor je pravilen.

Naprej

Vsaj eden od odgovorov je napačen.

1. Pravilo za odvod potence je (xn)′=nxn−1.

2. g′(−1)=5 Do tega rezultata pridemo tako, da funkcijo g(x)=x5 odvajamo, dobimo g′(x)=5x4 in za x vstavimo −1.

3. Pravilna slika je

(pot1.png)

Odvod funkcije v dani točki predstavlja smerni koeficient tangente v tej točki.

Naprej

Niste odgovorili na vsa vprašanja. Zaprite to okno in preverite svoje odgovore.

Odvodi kotnih funkcij

Povežite!

(sinx)′
(cosx)′
cosx
−sinx
sinx
− cosx

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Pravilno je:

  • (sinx)′=cosx
  • (cosx)′=−sinx

Naprej

Vrednost odvoda

Kakšna je vrednost odvoda v označenih točkah na sliki?

(odvod_nal5.png)

Vrednost odvoda v označenih točkah je enaka .

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen.

V označenih točkah je vrednost odvoda 0. To se vidi tudi tako, da so tangente na krivuljo v teh točkah vzporedne z x osjo.

(odvod_nal5_prav.png)

Naprej

Naraščanje in padanje

Dana je funkcija f(x)=x3−3x+2. Na levi sliki je graf funkcije, na desni sliki je graf odvoda te funkcije. Določite intervale naraščanja in padanja funkcije f.

(odvod_n12a.png) (odvod_n12b.png)
[−∞,0]
[−∞,−1]
[−1,1]
[−2,1]
[−∞,−2]
[1,∞]
[0,∞]
nič od tega
f narašča
f pada

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Funkcija narašča oziroma pada med ekstremalnimi točkami. Na grafu odvoda pa to vidimo tako: kjer je graf odvoda pozitiven, tam funkcija narašča, kjer je negativen, pa pada.

(odvod_n12a.png) (odvod_n12b.png)

Rešitve:

  • [−∞,0] - nič od tega
  • [−∞,−1] - f narašča
  • [−1,1] - f pada
  • [−2,1] - nič od tega
  • [−∞,−2] - f narašča
  • [1,∞] - f narašča
  • [0,∞] - nič od tega

Naprej

Ekstremi 1

Razvrstite korake za računanje ekstremov v pravilni vrstni red.

1.
2.
3.
4.
5.
Izračunamo odvod funkcije.
Odvod izenačimo z 0.
Izračunamo stacionarne točke.
Določimo predznak odvoda med stacionarnimi točkami.
Določimo katere točke so minimumi in katere maksimumi.

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor ni pravilen. Pravilen vrstni red je naslednji:

  1. Izračunamo odvod funkcije.
  2. Odvod izenačimo z 0.
  3. Izračunamo stacionarne točke.
  4. Določimo predznak odvoda med stacionarnimi točkami.
  5. Določimo katere točke so minimumi in katere maksimumi.

Naprej

Ekstremi 2

Določite največjo vrednost funkcije f(x)=−x3+3x+2 na intervalu [0, 3].

Odgovor: Največja vrednost na intervalu [0, 3] je

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Največjo vrednost iščemo med lokalnimi maksimumi.

  • Funkcijo f(x)=−x3+3x+2 najprej odvajamo: f′=−3x2+3.
  • Odvod izenačimo z nič, da dobimo stacionarne točke:
    −3x2+3=0 (delimo z -3)
    x2−1=0
    (x−1)(x+1)=0
    Stacionarne točke: T1(1,4) in T2(−1,0)
  • Na danem intervalu [0, 3] je samo T1(1,4). Ugotovimo, da je ta točka maksimum, zato je 4 največja vrednost na intervalu [0, 3].

Naprej

Ekstremalni problem

Imamo dve števili a in b, katerih vsota je 200. Poišči ti dve števili, tako da bo njun produkt največji.

Odgovor: a= , b=



Katero količino je treba napisati kot funkcijo in jo odvajati?

Preveri

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen. Pravilni odgovor je a=100, b=100, za funkcijo proglasimo in odvajamo produkt ab. Nalogo rešimo takole:

  • Iščemo dve števili, tako da bo produkt največji, zato produkt razglasimo za funkcijo. p=ab

  • Iz vsote a+b=200 izrazimo eno izmed spremenljivk, a=200−b, in jo vstavimo v formulo za produkt.

    • p=(200−b)b=200b−b2
  • Odvajamo p: p′=200−2b

  • Rešimo enačbo p′=0

    • 200−2b=0
    • b=100
  • Izračunamo še a, a=100.

Naprej

Niste odgovorili na vsa vprašanja. Zaprite to okno in preverite svoje odgovore.

Težja naloga

Podan je graf odvoda funkcije f′(x). Izberite pravilno sliko funkcije f(x).

(nal_odvod.png)

Namig

(nal_odvod_prav.png)
(nal_odvod_1.png)
(nal_odvod_2.png)
(nal_odvod_3.png)

Odgovor je pravilen.

Naprej

Odgovor je napačen.

  • Tam, kjer graf odvoda seka os x, so ničle odvoda. To pomeni, da je za te x f′(x)=0. V x, za katere to velja, ima funkcija stacionarne točke.
  • Kjer je graf odvoda pod osjo x, to pomeni, da je tam vrednost odvoda negativna. Negativen odvod pomeni, da je funkcija za tiste x padajoča.
  • Kjer je graf odvoda nad osjo x, to pomeni, da je tam vrednost odvoda pozitivna. Pozitiven odvod pomeni, da je funkcija za tiste x naraščajoča.
(nal_odvod.png)
Graf odvoda
(nal_odvod_prav.png)
Graf funkcije

Poglejmo, kako to razberemo na dani sliki:

  • Graf odvoda seka os x blizu x=−1, med x=0 in x=1 ter med x=1 in x=2. To pomeni, da ima graf funkcije v teh točkah stacionarne točke.
  • Graf odvoda je za x<−1 negativen, to pomeni, da graf funkcije za x<−1 pada.
  • Graf odvoda je med prvo in drugo ničlo odvoda (gledano z leve) pozitiven, to pomeni, da graf funkcije med tema dvema točkama (ki sta na grafu funkcije stacionarni točki) narašča.
  • Med drugo in tretjo ničlo odvoda (gledano z leve) je graf odvoda negativen, kar pomeni, da graf funkcije med tema dvema točkama pada.
  • Od tretje ničle odvoda naprej je graf odvoda pozitiven, kar pomeni, da graf funkcije od tu naprej narašča.

Naprej

Razmislite, kaj pomeni, kadar je odvod enak 0, kadar je negativen ali pozitiven.

Rezultati

0%
0%