Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Vektorji in skalarji

Pri vektorjih je pomembna tako smer kot velikost (dolžina), pri skalarjih pa le velikost. Dolžina vektorja je zato skalar, prav tako je skalar dolžina stranice nekega geometrijskega lika.

Smer in usmerjenost vektorja

Smer vektorja je določena s premico, na kateri vektor leži. Vzporedni vektorji imajo tako isto smer.

Usmerjenost vektorja podamo tako, da določimo, katera točka iz para $(A,B)$ je začetna in katera končna. Na sliki je to ponazorjeno s puščico.

Koliko je vektorjev?

Oglišča poljubnega trikotnika $\triangle ABC$ določajo 7 različnih vektorjev, in sicer: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$ ter $\overrightarrow{AA}= \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CC}$. Vsi ničelni vektorji so si namreč med seboj enaki.

Pravilno

Odgovori so pravilni.

Naprej

Napačno

Odgovor ni popoln. Preverite še enkrat, kaj ste naredili narobe ali pa si oglejte definicijo in osnovne lastnosti vektorjev.

Namig: Za neko trditev lahko obstaja več pravilnih odgovorov.

Ponovno Preskoči

Vektorju nasproten vektor

Vektorju $\overrightarrow{b}$ nasproten vektor $-\overrightarrow{b}$ je vektor, ki ima enako dolžino, enako smer in nasprotno usmerjenost od vektorja $\overrightarrow{b}$.

Enotski vektor

Enotski vektor $\overrightarrow{e}$ je vzporeden vektorju $\overrightarrow{a}$, enako usmerjen kot $\overrightarrow{a}$, njegova dolžina pa je $1$. Zapišemo ga lahko kot $\overrightarrow{e}_{\overrightarrow{a}} = \frac{1}{\vert \overrightarrow{a} \vert}\overrightarrow{a}$.

Ničelni vektor

Ničelni vektor nima smeri in usmerjenosti, njegova dolžina je 0, zato je vzporeden z vsakim vektorjem.

Linearna odvisnost in neodvisnost

Če sta dva vektorja kolinearna, sta linearno odvisna. Njuna linearna kombinacija je lahko enaka nič, tudi če nista oba skalarja enaka 0.

Če sta dva vektorja nekolinearna, sta linearno neodvisna. Tedaj velja $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b} = 0$, samo če sta oba skalarja enaka 0.

Linearna kombinacija

Vse linearne kombinacije dveh nekolinearnih vektorjev v ravnini predstavljajo vse možne vektorje v ravnini. To lahko preverite z uporabo dinamične naloge na naslednji strani.

Pravokotnost dveh vektorjev

Dva vektorja sta pravokotna takrat, ko je kot med njima enak $90^{\circ}$. Ker je kosinus $90^{\circ}$ enak $0$, sta dva vektorja pravokotna natanko takrat, ko je skalarni produkt dveh vektorjev enak $0$.

Predznak skalarnega produkta

Vrednost skalarnega produkta je odvisna od dolžin obeh vektorjev in kota med njima. Če je dolžina enega od vektorjev enaka 0, je tudi skalarni produkt enak 0. Predznak skalarnega produkta neničelnih vektorjev je odvisen od kosinusa kota med njima, zato je pozitiven, ko je kot med njima oster, in negativen, ko je top. V primeru, ko je kot med njima pravi, tj. $(90^{\circ})$, je skalarni produkt enak 0.

Uporaba kosinusnega izreka

Kosinusni izrek se lahko uporablja v vsakem trikotniku. Če sta dani dve stranici in kot med njima, lahko izračunamo tretjo stranico. Če so podane vse tri stranice, pa lahko izračunamo kote. Poskusite iz obrazcev za kosinusni izrek sami izraziti obrazce za izračun notranjih kotov trikotnika.

Uporaba kosinusnega izreka 2

Denimo, da imamo znani stranici $b$ in $c$ ter kot $\beta$, ki je nasproti stranice $b$.

Stranico $a$ dobimo iz obrazca $b^2 = a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$ tako, da jo prepišemo v kvadratno enačbo za spremenljivko $a$:

in rešimo s pomočjo diskriminante $D= 4 c^2 \cos^2 \beta - 4 c^2 + 4b^2= 4(b^2-c^2 \sin^2 \beta).$

Bazni vektorji

Bazni vektorji so nekomplanarni vektorji, ki sestavljajo bazo prostora. Primer baznih vektorjev so $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ in $\overrightarrow{k}$. Njihova dodatna lastnost je, da so tudi paroma pravokotni in enotski.

Baza - vektorji

Denimo, da nas zanima, ali so neničelni vektorji $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ in $\overrightarrow{c}$ baza prostora. Najprej preverimo, če je $\overrightarrow{a}=m \overrightarrow{b}$ za neko realno število $m\neq 0$. Če to velja, sta vektorja kolinearna, zato ne moreta skupaj s $\overrightarrow{c}$ tvoriti baze prostora. Sicer preverimo, če je $\overrightarrow{c}=s \overrightarrow{a}+ t \overrightarrow{b}$ za neki realni števili $s$ in $t$. V primeru, da to velja, je $\overrightarrow{c}$ linearna kombinacija vektorjev $c$, zato so vektorji koplanarni in ne tvorijo baze prostora. Če pa taki števili $s$ in $t$ ne obstajata, vektorji tvorijo bazo prostora.

Vektor $\overrightarrow{AB}$

Vektor $\overrightarrow{AB}$ bi lahko izračunali kot razliko krajevnih vektorjev točk B in A. Zato je $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A} = (b_1,b_2,b_3)-(a_1,a_2,a_3) = (b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$.

Razpolovišče daljice

Razpolovišče daljice R leži na sredini vektorja $\overrightarrow{AB}$ in je enako oddaljeno od točk A in B. Podani imamo točki $A(a_1,a_2,a_3)$ in $B(b_1,b_2,b_3)$, zato je krajevni vektor točke R enak $\overrightarrow{r_R} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_B}) = (\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2},\frac{a_3+b_3}{2})$.

Vektor $\overrightarrow{OR}$ lahko izrazimo kot $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AR}$. Vektor $\overrightarrow{AR}$ pa je ravno polovica $\overrightarrow{AB}$, zato lahko pišemo tudi, da je $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vektor $\overrightarrow{AB}$ pa lahko zapišemo kot $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, zato je $\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).$

Težišče trikotnika

Težišče trikotnika je presečišče vseh treh težiščnic trikotnika in težišče deli vsako od težiščnic v razmerju $2:1$. Torej, če imamo oglišča trikotnika podana s krajevnimi vektorji, $\overrightarrow{r_A} = (a_1,a_2,a_3)$, $\overrightarrow{r_B} = (b_1,b_2,b_3)$ in $\overrightarrow{r_C} = (c_1,c_2,c_3)$, potem lahko krajevni vektor težišča izračunamo po obrazcu $\overrightarrow{r_T} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_C}) = (\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3},\frac{a_3+b_3+c_3}{3})$.

Enotski vektor

Enotski vektor v smeri vektorja $\overrightarrow{a}$ je

Vektorski produkt

Vektorski produkt je operacija, ki dvema vektorjema $\overrightarrow{a}$ in $\overrightarrow{b}$ priredi vektor $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$, ki je pravokoten na vektorja $\overrightarrow{a}$ in $\overrightarrow{b}$. Njegova dolžina je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja $\overrightarrow{a}$ in $\overrightarrow{b}$ in se izračuna kot $\vert\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\vert = a b \sin \rho$. Če imamo vektorja podana s komponentami, se vektorski produkt izračuna z obrazcem $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = (a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$.

Kot med premicama

Za vektorje v ravini veljajo bolj poenostavljeni obrazci za izračun skalarnega produkta in dolžine vektorja, saj tretje komponente ni. Če imamo dve premici, $y = k_1x+n_1$ in $y = k_2x +n_2$, sta smerna vektorja $(1,k_1)$ in $(1,k_2)$. Sedaj lahko po obrazcu za izračun kota med vektorjema izračunamo kot med tema dvema premicama. Dobimo, da je $cos \rho = \frac{1+k_1k_2}{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+k_2^2}}$.

Če sta premici vzporedni, mora biti kot med njima enak $0^{\circ}$, zato mora veljati $k_1 = k_2$. Če pa sta premici pravokotni, mora biti kot med njima enak $90^{\circ}$, skalarni produkt vektorjev mora biti enak 0, zato mora veljati $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.