Poglejmo si, kako se racionalna funkcija vede daleč proč od koordinatnega izhodišča (pri zelo velikih pozitivnih oziroma negativnih vrednostih spremenljivke ).

Vemo, da se polinomi daleč od koordinatnega izhodišča vedejo tako kot vodilni člen:

Zato se racionalna funkcija daleč od izhodišča vede kot kvocient vodilnih členov:

Glede na stopnjo polinomov in ločimo tri možnosti.

1. : Stopnja polinoma v števcu je nižja od stopnje polinoma v imenovalcu.

Standardni trik, ki si ga bomo natančneje pogledali pri limitah, nam pove, da moramo števec in imenovalec hkrati deliti z . Tako dobimo

Če sedaj za vstavimo po absolutni vrednosti zelo veliko realno število, ugotovimo, da lahko vse seštevance, ki so napisani v obliki ulomka, spravimo poljubno blizu ničle. Zato je tudi vrednost za zelo velike približno enaka . To lahko povemo z drugimi besedami takole:

S premikanjem točke na drsniku povečuj potenco imenovalca racionalne funkcije. Ali se pri tem povečevanju potence vodoravna asimptota kaj spremeni? Zakaj?

Odgovor

2. : Stopnja polinoma v števcu je enaka stopnji polinoma v imenovalcu.

Z enakim trikom kot prej funkcijo predrugačimo v

Enako kot prej vidimo, da gredo z rastočim vsi ulomki poljubno blizu k ničli. Zato velja:

S premikanjem točke na drsniku spreminjaj potenco imenovalca in števca racionalne funkcije. Ali se pri tem spreminjanju potenc števca in imenovalca racionalne funkcije enačba vodoravne asimptote kaj spremeni? Zakaj?

Odgovor

3. : Stopnja polinoma v števcu je višja od stopnje polinoma v imenovalcu.

Podrobno si oglejmo primer, ko je stopnja polinoma v števcu za ena višja od stopnje polinoma v imenovalcu, torej . Ko delimo polinom s polinomom , dobimo za kvocient nek linearen polinom oblike , za ostanek pa polinom stopnje manj kot :

Ker je stopnja ostanka (polinoma ) nižja od stopnje polinoma , gre kvocient v neskončnosti poljubno blizu proti ničli. Zato velja:

Splošno:

Naj bo stopnja polinoma v števcu je višja od stopnje polinoma v imenovalcu.

Tedaj lahko polinom v števcu delimo s polinomom v imenovalcu in za kvocient dobimo polinom stopnje , za ostanek pa polinom stopnje manj kot ,

Z enakimi prijemi kot prej vidimo, da gre desni ulomek v neskončnosti poljubno blizu proti ničli. Zato velja:
Če je stopnja števca višja od stopnje imenovalca, ima racionalna funkcija za asimptoto polinom, ki je kvocient števca in imenovalca racionalne funkcije.

Premikaj točke , in na drsnikih in opazuj, kako se spreminja poševna asimptota racionalne funkcije.

Naj bo polinom višje stopnje kot polinom . Potem je ostanek pri deljenju polinima s polinomom enak .

Kaj geometrjsko pomeni, če je ostanek pri deljenju v kakšni točki enak ?

V takšni točki velja kar

Drugače, vrednost racionalne funkcije se ujema z vrednostjo na asimptoti. To pomeni, da v takih točkah racionalna funkcija seka svoje asimptoto.

Poišči presečišče grafa racionalne funkcije in njene poševne asimptote (rezultat zapiši v decimalnem zapisu).

T(, )

Preveri

Dani funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo ter na papir nariši njen graf!

Funkcija ničel.

Pol: , . stopnje.

Asimptota: .

Začetna vrednost: .

Preveri

Dani funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo ter na papir nariši njen graf (uporabi decimalni zapis)!

Ničli: , . stopnje;
, . stopnje.

Pola: , . stopnje;
, . stopnje.

Asimptota: .

Začetna vrednost: .

Preveri

Dani funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo ter na papir nariši njen graf!

Ničli: , . stopnje;
, . stopnje.

Pol: , . stopnje.

Asimptota: .

Začetna vrednost: .

Preveri

Dani funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo ter na papir nariši njen graf!

Ničla: , . stopnje.

Pola: , . stopnje;
, . stopnje.

Asimptota: .

Začetna vrednost: .

Preveri

Zapiši enačbo vodoravne asimptote racionalne funkcije.

y = .

Preveri

Zapiši enačbo vodoravne asimptote racionalne funkcije.

y = .

Preveri

Zapiši enačbo vodoravne asimptote racionalne funkcije.

y = .

Preveri

Zapiši enačbo vodoravne asimptote racionalne funkcije.

y = .

Preveri

Zapiši enačbo vodoravne asimptote racionalne funkcije.

y = .

Preveri

Zapiši presečišče grafa racionalne funkcije in njene poševne asimptote.

Asimptota: y = .

Presečišče: T(, ).

Preveri

Zapiši presečišče grafa racionalne funkcije in njene poševne asimptote.

Asimptota: y = .

Presečišča .

Preveri

Zapiši presečišče grafa racionalne funkcije in njene poševne asimptote.

Asimptota: y = .

Presečišče: T(, ).

Preveri

Dani racionalni funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo in na papir nariši graf.

Ničla: .

Pol: .

Asimptota: .

Presečišče: A(, ).

Preveri

Dani racionalni funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo in na papir nariši graf.

Ničla: .

Pola: , .

Asimptota: .

Presečišče: A(, ).

Preveri

Dani racionalni funkciji določi ničle, pole, asimptoto, presečišče z ordinatno osjo in na papir nariši graf.

Ničla: .

Pola: , .

Asimptota: .

Presečišče z asimptoto: T(, )

Presečišče z ordinatno osjo: A(, ).

Preveri