Uvod
Obseg trikotnika je preprosto računati, če poznamo dolžine njegovih stranic. Bolj zanimive so drugačne naloge, kjer izpeljemo formule za kakšne posebne trikotnike. Tako je obseg enakostraničnega trikotnika s stranico :
Če je osnovnica in krak enakokrakega trikotnika, je njegov obseg
Ploščina trikotnika
Več možnosti je, kako izračunati ploščino trikotnika. Najpogosteje nalogo rešimo s pomočjo pravokotnika ali paralelograma. V vsakem primeru si pomagamo s skladnimi trikotniki, s pomočjo katerih trikotnik prevedemo v kvadrat ali paralelogram.
Poljuben trikotnik z zasukom pravokotnih trikotnikov, ki ju določa višina, oblikujemo do pravokotnika z dolžino enako stranici trikotnika in širino, ki je enaka višini na to stranico. To lahko naredimo za katerokoli stranico in dobimo znane formule za ploščino poljubnega trikotnika:
Ploščina trikotnika
V drugem primeru pa preverimo skladnost trikotnikov v paralelogramu z zrcaljenjem, odtod pa po podobnem premisleku izpeljemo formulo za ploščino trikotnika, ki je polovična ploščina paralelograma z osnovnico in višino .
Naloge za ogrevanje
Ploščina trikotnika meri dm2, stranica pa dm. Koliko meri stranica , če je za cm krajša od višine na stranico ?
Stranica meri dm.
Odlično!
Naloge za ogrevanje
Stranici in paralelograma merita po vrsti cm in cm, oklepata pa kot o. Koliko meri višina paralelograma?
paralelograma meri cm.
Odlično!
Naloge za ogrevanje
Kateti pravokotnega trikotnika merita cm in cm. Koliko meri višina na ?
Višina na meri natančno cm.
Odlično!
Enakostranični trikotnik
| Za enakostranični trikotnik zadostuje podatek o dolžini stranice. Torej zadostuje ta podatek tudi za ploščino tega trikotnika. In res: |
Na sliki imaš označene potrebne dimenzije trikotnih in enega posebnega jadra, ki je sestavljeno iz trikotnika in trapeza. Izračunaj skupno površino jader. Rezultat zapiši na tri mesta natančno.
(Opomba: slika jadrnice je v resnici slika modela jadrnice BRITANNIA, ki je bila zgrajena leta 1831 in je bila tekmovalna jadrnica)
Če so podatki na sliki v m, je skupna površina jader m2.
Odlično!
Površina najmanjšega jadra je m2, največjega pa m2. Najvišje jadro je sicer štirikotno, toda razlika do trikotnega je zanemarljivo majhna in je nismo mogli izmeriti.
Ni res!
Skupna površina jader je m2.
Površina najmanjšega jadra je m2, največjega pa m2. Najvišje jadro je sicer štirikotno, toda razlika do trikotnega je zanemarljivo majhna in je nismo mogli izmeriti.
Štirikotnik
Poseben primer raznostraničnega štirikotnika je tak štirikotnik, ki ima diagonali med seboj pravokotni. Tedaj je mogoče preprosto izračunati njegovo ploščino (primerjaj sliko): Opomba: tako lahko izračunamo tudi ploščino kvadrata in romba, saj imata tudi onadva to lastnost. |
|
Diagonala je stranica trikotnika turkizne barve, višina na to stranico pa je del diagonale , zelen trikotnik pa ima z isto osnovnico višino . Če ti dve ploščini seštejemo, dobimo ploščino štirikotnika:
Štirikotnik
In vendar zgodba tukaj še ni končana. Še en korak k posplošitvi lahko naredimo. Kaj pa če diagonali nista pravokotni? Naj bo torej kot med diagonalama. Tudi za ta primer lahko zapišemo formulo za ploščino trikotnika (zopet primerjaj sliko): |
|
Zdaj višini posameznih trikotnikov izračunamo, kot se vidi na sliki: zelen trikotnik ima višino , turkizni pa , zato po seštevanju dobimo:
Zdaj pa izračunaj ploščino deltoida—zmaja, katerega diagonali se razlikujeta za dm, skupaj pa merita dm.
Ploščina: dm2.
Raziskovanje
Kakšen trikotnik z danima stranicama cm in cm ima največjo ploščino?
| Odgovor si bomo ogledali na dinamični sliki. Brez nje pa lahko rečemo takole: Če je mogoče z danima stranicama trikotnika spreminjati velikost višine na eno izmed njiju, bo ploščina trikotnika največja pri največji višini. To pa lepo vidimo na spodnji sliki. Z levo miškino tipko "zagrabimo" točko in jo počasi premikamo vzdolž krožnice. Desno se izrisuje ploščina trikotnika v odvisnosti od kota in višine . |
|
Če točko premikaš dovolj počasi, se ti na desni izrisuje sled višine daljice, ki ponazarja velikost ploščine. Z dovolj pazljivim spremljanjem lahko ugotoviš največjo ploščino in tudi kot pri katerem jo doseže.
Dopolni odgovor:
Če so enote m, je največja ploščina m2, in jo doseže trikotnik pri kotu.
Odlično!
Nekje si se zmotil.
Namig je že zgoraj omenjen - višina na je največja pri kotu o, zato je ploščina največja, ko je trikotnik pravokoten.
Še ena naloga
|
Na sliki je model aviona in primer deltastih kril na desni, ki ima vse potrebne podatke, da lahko izračunaš površino njegovih kril. Saj ne bo pretežko, ne?
Če so enote v m, je skupna površina kril približno m2.
Odlično!
Seveda je primerov v vsakdanjem življenju še veliko. Če poznaš osnovne povezave, lahko večino primerov rešiš z uporabo nanizanih lastnosti in povezav.
Ni res!
Če so enote v m, je skupna površina kril približno m2.
Seveda je primerov v vsakdanjem življenju še veliko. Če poznaš osnovne povezave, lahko večino primerov rešiš z uporabo nanizanih lastnosti in povezav.
Dodatne naloge - 1
Kolikšen je krak enakokrakega trikotnika, katerega osnovnica meri cm, obseg pa cm:
Odlično!
Dodatne naloge - 2
Pravokotnik s stranicama cm in cm z diagonalama razdelimo na štiri trikotnike. Kolikšna sta obseg najmanjšega in največjega včrtanega trikotnika?
Odlično!
Ni res!
Obseg najmanjšega včrtanega trikotnika je cm, obseg največjega včrtanega trikotnika pa je cm.
Dodatne naloge - 3
Trikotnik, katerega stranica je dvakrat daljša od stranice , stranica pa je za cm krajša od nje, ima obseg cm. Koliko meri stranica ?
Rešitev: cm.
Odlično!
Dodatne naloge - 4
Trikotnik s stranico cm in cm, katere nosilka seka osnovnico na dolžine od oglišča , dopolnimo do paralelograma. Izračunaj kot in stranico tega paralelograma.
Kot :
Stranica :
Odlično!
Dodatne naloge - 5
Na kateri višini moramo narisati vzporednico osnovnici v trikotniku, da bo ploščina zgornjega trikotnika enaka polovici ploščine celotnega trikotnika, če meri osnovnica cm in cm.
Odlično!
