Zakaj potrebujemo novo operacijo?

Kako naj pomnožimo dva vektorja, da bi dobili realno število?

Običajno se nam najprej porodi ideja, da bi pomnožili kar dolžini obeh vektorjev. Ideja je enostavna, a ne posebno vznemirljiva. Kaj je posebnega v tem, da poznamo produkt dolžin dveh vektorjev? Vsekakor ne dovolj, da bi to razglasili za novo računsko operacijo, sploh pa gre za običajno, dobro znano množenje realnih števil.

Kaj pa, če bi podatke o dolžinah povezali še z informacijo o legi obeh vektorjev? Dva vektorja z nespremenljivo dolžino se lahko v medsebojni legi bistveno razlikujeta: lahko sta vzporedna in pri tem enako ali nasprotno usmerjena, če pa nista vzporedna, lahko oklepata zelo različne kote.

S spreminjanjem kota med vektorjema se spreminja njuno stremenje k isti usmerjenosti. Čim manjši je kot med njima, tem bližje isti usmerjenosti sta. Velja pa tudi obratno: čim večji je kot med njima, bolj vsaksebi sta usmerjena; ko je kot med njima največji, sta nasprotno usmerjena, gledata vsak na svojo stran.

Pri tem je treba vedeti, da je kot med vektorjema vedno manjši od obeh kotov, ki ju vektorja določata, kar prikazuje tudi spodnja slika. Kot med vektorjema je tisti, ki je obarvan zeleno. Meri lahko največ 180°.

Med dvema skrajnima možnima legama vektorjev, ki sta prikazani levo in desno, lahko na srednji sličici spreminjaš položaj vektorja . Spreminjaj ga tako, da z njim opišeš polni kot, in opazuj, kako se pravilno odmerja kot med vektorjema.

Odločimo se, da bomo za pokazatelja medsebojne lege vektorjev namesto velikosti kota upoštevali kosinus kota med vektorjema, in zato vpeljemo novo operacijo med vektorji, t. i. skalarni produkt, na naslednji način.

S pomočjo spodnje naloge samostojno razišči lastnosti skalarnega produkta.

Z miško zgrabi konec vektorja , ga premikaj in s tem spreminjaj kot med vektorjema in . Opazuj, kaj se dogaja z vrednostjo skalarnega produkta , ki se ti izpisuje ob vektorju .

Na podlagi ugotovitev dopolni besedilo pod sliko.

Vrednost skalarnega produkta danih vektorjev je največja, ko je = °, najmanjša, ko je = °, vrednost pa doseže, ko je = 90°. Skalarni produkt je pozitiven negativen , ko je kot med vektorjema oster ali ničelni, ko pa je kot med vektorjema top ali iztegnjen, je skalarni produkt pozitiven negativen .

Preveri, ali razumeš pomen skalarnega produkta

Imamo dva vektorja, prvega z dolžino 3 in drugega z dolžino 2. Kaj lahko sklepaš iz posameznih primerov, če veš, da je vrednost njunega skalarnega produkta (poveži):

Eno rešitev smo že omenili. Obstaja še druga. Lahko si pomagaš tudi tako, da se vrneš k sliki z vektorjema in in razen kota med vektorjema spreminjaš tudi dolžino vektorja . Kako še lahko dosežeš vrednost skalarnega produkta 0?

Skalarni produkt = je lahko enak 0 iz treh razlogov:

• ali
• ali
• , kar pomeni, da je =90°, da sta vektorja in pravokotna.

Skalarni produkt je enak 0 le, če sta vektorja pravokotna ali pa je vsaj eden od njiju ničelni vektor.

Imejmo vektorja in , za katera je , . Izračunaj njun skalarni produkt v petih različnih legah. Upoštevaj točno vrednost kosinusa kotov.

Skalarni produkti v posameznih primerih so:

Če si ogledamo obrazec za izračun skalarnega produkta dveh vektorjev, vidimo, da v njem nastopata dolžina vektorja, ki jo lahko predstavimo tudi kot razdaljo med začetno in končno točko vektorja, ter kot med vektorjema.

Zato bo skalarni produkt v geometriji pri računanju razdalj oziroma dolžin ter računanju kotov nepogrešljiv.

Izpelji obrazec za računanje kota med vektorjema To storiš tako, da iz osnovnega obrazca za skalarni produkt izraziš faktor, ki vsebuje iskani kot, torej faktor cos .

Izpelji obrazec za računanje dolžine vektorja V obrazcu za skalarni produkt upoštevaj, da je , poenostavi obrazec in izrazi dolžino vektorja .

Povzemimo.

POZOR! Bolje je, da formule za računanje dolžine vektorja ne zapisujemo v obliki , saj nepremišljeno korenjenje desne strani enakosti vodi v velik nesmisel, da je namreč . Enakost je nesmiselna, saj je na levi strani realno število, na desni pa vektorska količina.

Z znanjem o kotu med vektorjema reši naslednjo nalogo:

Izračunaj kot med vektorjema in z dolžinama in , če je njun skalarni produkt:

Projekcija vektorja na vektor ni vektor, kot bi morda pričakovali na podlagi geometrijske predstave projiciranja, ampak je število, definirano na naslednji način.

Če vektorja in oklepata največ pravi kot, nam dobljeno število pove dolžino vektorja, ki nastane ob projiciranju vektorja na vektor , če pa vektorja in oklepata kot, večji od pravega, število pove nasprotno vrednost dolžine vektorja, ki nastane s projiciranjem vektorja na vektor . To nazorno prikazuje tudi spodnja slika.

Kakšen je geometrijski pomen izraza za projekcijo vektorja na vektor, si podrobneje oglejmo ob spodnjih dveh slikah:

Če je kot med vektorjema oster (ali ničelni), z izrazom izračunamo dolžino kotu priležne katete v nastalem pravokotnem trikotniku, če pa je kot med vektorjema topi kot (ali iztegnjeni), pa priležna kateta meri , saj je kosinus kota in s tem projekcija vektorja negativno število.

Tako absolutna vrednost projekcije vektorja na vektor meri dolžino vektorja, ki nastane ob projekciji, predznak pa govori o vrsti kota med vektorjema (ostri oziroma ničelni ali topi oziroma iztegnjeni).

Izračunaj projekciji enega vektorja na drugega.

Imejmo že znana vektorja z dolžinama in , kot med njima pa naj bo:

• 60°,
• 150°.

V obeh primerih izračunaj in .

Po množenju vektorja s skalarjem je skalarni produkt že druga tako imenovana zunanja operacija, kar pomeni, da faktorja, ki ju množimo, in njun produkt niso iz iste množice.

Tako kot produkt vektorja s skalarjem ima tudi skalarni produkt nekaj prav posebnih lastnosti.

Poenostavi izraz: , kjer so vektorji , in znani ortonormirani vektorji.

Izračunaj dolžino vektorja , če je , in kot med vektorjema in meri 45°.

Izračunaj še kot med vektorjema in , če gre za vektorja iz prejšnje naloge (rezultat zaokroži na dve mesti natančno.

°

Dana sta vektorja in , z dolžinama in . Izračunaj njun skalarni produkt, če je kot med njima:

V kvadratu ABCD s stranico a = 2 cm izračunaj naslednje skalarne produkte:

V pravilnem šestkotniku s središčem in stranico izračunaj oziroma izrazi z naslednje skalarne produkte:

Izračunaj vrednost izraza , če veš, da je , , in je , , .

Izračunaj dolžino vektorja , če je in , kot med in pa meri:

Izračunaj kot med vektorjema in , če je in , (rezultat zaokroži na dve decimalni mesti natančno).
°

Izračunaj kot med telesnima diagonalama AC' in BD' v kocki ABCDA'B'C'D' (A' je nad A, B' nad B, ...) s stranico a (rezultat zaokroži na dve decimalni mesti natančno).

°