Spodaj lahko poslušaš štiri števila: , , in . Poskusi ugotoviti, v čem se razlikujejo.
Tukaj lahko slišiš .
Tukaj lahko slišiš .
Števila
Spodaj lahko poslušaš štiri števila: , , in . Poskusi ugotoviti, v čem se razlikujejo.
Tukaj lahko slišiš .
Tukaj lahko slišiš .
Števila
Tukaj lahko slišiš
Števila
Tukaj lahko slišiš
Zanimivost
Te zanima, kako smo prišli do zgornjih skladb?
Z računalniškim programom smo vsaki števki od do priredili določen ton, nato smo ta program uporabili za izbrana števila. Program prebere decimalni zapis števila in po vrsti zaigra ustrezne tone.
Pri ulomku smo lahko vzeli vse decimalke. Njegova skladba je sestavljena le iz treh tonov: iz tona za števko , iz tona za števko in iz tona za števko .
Pri ulomku smo nakazali periodo. Njegova skladba se začne s tonom za števko , nato se po vrsti ponavljajo toni za , in .
Pri smo vzeli decimalk (znanih je več kot milijon decimalk, vendar bi bila skladba v tem primeru preobsežna). Pri skladbi lahko slišimo, da so decimalke naključne, ne sliši se nobenega vzorca.
Pri smo vzeli decimalk (tudi za je sicer znanih več kot milijon decimalk). Tudi pri se sliši, da se decimalke ne pojavljajo po nobenem pravilu.
Razlika
Kakšna je razlika med , in obema ulomkoma?
Ulomek ima zelo kratek decimalni zapis, zato je tudi njegova skladbica zelo kratka.
Ulomek ima neskončen decimalni zapis, a periodičen. Slišimo, da se njegova skladbica stalno ponavlja. Spomnimo se, da sta to za racionalne ulomke edini možnosti, saj je njihov decimalni zapis bodisi končen bodisi periodičen.
Pri in je skladba povsem drugačna. Slišimo, da se nič ne ponavlja, kot bi se toni izbirali povsem naključno. To je lastnost decimalnega zapisa iracionalnih števil– imajo neskončen zapis, ki se nikoli ne začne ponavljati, nima periode.
Iracionalna števila
Zdaj bi bil pa res že čas, da povemo, kaj so iracionalna števila.
Kot smo ugotovili s poslušanjem, imajo racionalna in iracionalna števila povsem drugačen decimalni zapis: Pri racionalnih številih je končen ali periodičen, pri iracionalnih številih pa je vedno neskončen in neperiodičen.
Glasbena lestvica in iracionalna števila
Glasbeno lestvico in racionalna števila smo že povezali (oglej si gradivo Pitagorejci in glasbena lestvica). Spomnimo se, kakšna je Didimova lestvica ali lestvica čiste uglasitve. To je lestvica, do katere pridemo s posluhom, saj njeni intervali najlepše zvenijo. Intervali so izraženi z najmanjšimi naravnimi razmerji.
Z rdečo so napisani faktorji, s katerimi moramo pomnožiti frekvenco osnovnega tona (začetni ton lestvice), da dobimo frekvence ostalih tonov. Z modro pa so zapisani vmesni intervali, ki povejo, za kolikokrat se poveča frekvenca od enega do drugega tona.
Glasbena lestvica in iracionalna števila
Dejstvo, da do lestvice čiste uglasitve pridemo s posluhom, potrjuje tudi najdba najstarejšega glasbila. Za nas ima to glasbilo izreden pomen, saj je bilo najdeno v Sloveniji. Seveda govorim o okrog let stari piščali iz Divjih Bab (v dolini reke Idrijce pri kraju Reka v severozahodni Sloveniji). Strokovnjaki so ugotovili, da so luknjice ravno v pravem razmerju za čisto uglasitev.
Danes se v zahodni glasbi uporablja precej drugačna uglasitev, saj pri lestvici čiste uglasitve naletimo na hud problem. Piščali oziroma pihala, klavir in ostala glasbila z izjemo godal lahko pri taki uglasitvi igrajo le eno tonaliteto, za drugo bi potrebovali novo glasbilo. To pomeni, da bi vsak glasbenik potreboval vsaj glasbil (toliko je durovih lestvic). Skozi čas so našli rešitev. Z različnimi tonalitetami dobimo še vmesne tone (črne tipke na klavirju) in ugotovili so, da bi morali oktavo razdeliti na dvanajst enakih poltonov.
Glasbena lestvica in iracionalna števila
Bi lahko tudi mi ugotovili, kolikšen mora biti en tak interval? Osnovni ton je predstavljen z , oktava (ponovitev osnovnega tona) pa je dvakratnik osnovnega tona. Torej iščemo število, pri katerem bi po dvanajstih množenjih samega s sabo dobili število .
Katero število je to?
Rešiti moramo enačbo , saj da dvanajstkratno množenje istega števila potenco z eksponentom . In rešitev te enačbe je dvanajsti koren iz dva: .
Do enake ugotovitve so prišli tudi strokovnjaki. Rešitev se imenuje enako temperirana ali le temperirana lestvica. Različni viri navajajo različne letnice in imena. Tako so do nje verjetno neodvisno prišli: že okrog leta Kitajec Chu Tsai-yu, Nizozemec Simon Steven leta in francoski menih Marin Mersenne leta . Znano je dejstvo, da je bil Johann Sebastian Bach nad novo uglasitvijo tako navdušen, da je takoj napisal zbirko skladb Dobro uglašeni klavir, v kateri je uporabil vse možne tonalitete.
Glasbena lestvica in iracionalna števila
Enako temperirana lestvica:
Na sliki se lepo vidita dve bistveni razliki med lestvico čiste uglasitve in temperirano lestvico. Pri temperirani lestvici dobimo še vmesne tone (črne tipke pri klavirju). Vmesni intervali so zapisani enako, vendar jih moramo brati drugače. Prvi modri predstavlja razliko med prvo belo in prvo črno tipko in hkrati med prvo črno in drugo belo tipko. Podobno velja za ostale vmesne intervale. Opazimo, da so vsi vmesni intervali enaki, frekvenca se pomnoži z . In je seveda iracionalno število ...
Glasbena lestvica in iracionalna števila
Za konec si oglejmo še, kakšne so razlike med vmesnimi intervali. Pri lestvici čiste uglasitve se pojavljajo tri vrednosti:
Pri temperirani lestvici sta tem intervalom enakovredna dva intervala:
Vidimo, da so razlike med , in ter in majhne, zato jih lahko sliši le dobro poučeno uho.
Od kdaj poznamo iracionalna števila?
Da je iracionalno število, so vedeli že Pitagorejci, vendar so to hranili kot največjo skrivnost. Takrat so namreč verjeli, da je vse v harmoniji, da se da vse zapisati s celoštevilskimi razmerji. je bil zanje nekaj neizrekljivega, in kdor bi iracionalnost izdal zunanjemu svetu, bi to plačal s smrtjo.
Kasneje so ugotovili, da vseh merljivih količin ni mogoče podati racionalno. V stoletju je arabski filozof al-Farabi razdelil vsa števila na racionalna in pozitivna iracionalna. Dve stoletji pozneje je matematik in pesnik Omar Hajam postavil splošno teorijo števil in jih kategoriziral. Racionalna števila je skupaj z iracionalnimi dopolnil v nova realna števila. Z njimi je končno vse (dolžine, ploščine, prostornine ...) postalo izmerljivo.
1. naloga
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Iracionalno. | |
Racionalno. | |
Racionalno. | |
Racionalno. | |
Iracionalno. | |
Iracionalno. | |
Racionalno. | |
Racionalno. |
Ulomke delno koreni in okrajšaj.
2. naloga
S kalkulatorjem izračunaj na pet decimalk natančno in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna!
3. naloga
S kalkulatorjem izračunaj na pet decimalk natančno in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna!
4. naloga
S kalkulatorjem izračunaj na pet decimalk natančno in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna!
5. naloga
S kalkulatorjem izračunaj na pet decimalk natančno in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna!
6. naloga
Koliko tonov ima lestvica čiste uglasitve in koliko temperirana lestvica?
Lestvica čiste uglasitve je sestavljena iz tonov, temperirana lestvica pa iz .
Odlično, rešitev je pravilna!
To pa ne bo držalo.
Lestvica čiste uglasitve je sestavljena iz osmih tonov, temperirana lestvica pa iz trinajstih.
Rezultati