Računanje spremlja človeka že od pradavnine. Danes se kljub moderni tehnologiji, računalnikom in mobitelom lahko znajdemo v položaju, ko je treba nekaj na hitro izračunati. Čeprav se zdi nemogoče, smo včasih pri računanju "peš" lahko celo hitrejši od tipkanja na razne računske pripomočke. Dobro poznavanje lastnosti računskih operacij omogoča razumevanje mnogih procesov, ki so pomembni v znanosti. To je še posebej pomembno v računalništvu, kjer s spretnim izvajanjem računskih operacij pospešimo hitrost računalniških programov.
Računske operacije
Računske operacije
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Računske operacije
Opazuj in razmisli
V zgornji vsoti smo zamenjali vrstni red seštevancev, tako da je člene lažje sešteti.
Ali smemo zamenjati vrstni red seštevancev? Je ? Ne. Da.
Preveri
V zgornjem računu smo najprej sešteli prva dva člena, dobljeni vsoti pa smo prišteli tretjega. Se to sme? Bi lahko sešteli najprej drugi in tretji člen in nato prišteli prvega? Je ?
Ne.
Da.
Odlično, rešitev je pravilna.
Vrstni red seštevancev smemo zamenjati. Ali ni vseeno, če poješ najprej dve tretjini pice, nato pa še eno tretjino, ali pa najprej eno tretjino pice in nato še dve tretjini? V obeh primerih konča cela pica v tvojem želodcu.
Rečemo, da je seštevanje komutativno, kar zapišemo .
Odlično, rešitev je pravilna.
Odgovor je spet pritrdilen. Če v posodo zlijemo mešanico olja in kisa ter k temu dodamo še sol, ali pa olje prilijemo k mešanici kisa in soli, dobimo vsakič enako mešanico.
Rečemo, da je seštevanje asociativno, in zapišemo .
Olajšajmo si delo
Spodnja animacija prikazuje, kako na videz zahteven račun poenostavimo z ustrezno izbiro vrstnega reda računskih operacij.
Združili smo dva člena, ki imata enake stotice, desetice in enice, saj se te odštejejo. Ostane nam računanje z "okroglimi" števili, kar nam ponavadi ne dela težav.
Oglejmo si še en zgled.
Najprej postavimo člene v ugodnejši vrstni red. Pri tem pazimo, da členi ohranijo svoj predznak.
Sedaj člene seštejemo oziroma odštejemo.
Okrajšamo ulomek in na koncu še seštejemo prva dva člena.
Kar mimogrede smo se srečali z ulomki. Da ne bo zadrege, najprej ponovimo, kako z ulomki računamo.
Kako računamo z ulomki?
Kako računamo z ulomki?
In še primeri:
Tudi na pravila za računanje s koreni ne smemo pozabiti.
Računanje s koreni
Številu pod korenskim znakom pravimo korenjenec. Če pod korenom nastopi produkt ali kvocient, lahko korenimo vsak faktor zase. Podobno lahko korenimo zase delitelja in deljenca.
Zadnji dve pravili uporabimo tudi pri delnem korenjenju, kar je prikazano med zgledi.
Zadnji primer je primer delnega korenjenja.
Naloge 1
Izračunaj vrednost spodnjih izrazov tako, da jih prej preurediš. Nato ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
Kaj pa množenje?
V računu smo zamenjali vrstni red faktorjev. Tako smo si olajšali delo.
Ali smemo zamenjati vrstni red faktorjev? Je ? Ne. Da.
Preveri
V zgornjem računu smo najprej zmnožili prvi in drugi faktor in nato dobljeni produkt pomnožili s tretjim. Se to sme? Bi dobili enak rezultat, če bi faktorje drugače združevali? Je ?
Ne.
Da.
Odlično, rešitev je pravilna.
Vrstni red faktorjev lahko zamenjamo.Tudi za množenje rečemo, da je komutativno, kar zapišemo .
Odlično, rešitev je pravilna.
Zamislimo si, da zlagamo kocke. Kocke zložimo v pet vrstic po štiri stolpce in enako postavitev ponovimo v treh nadstropjih kock. Enako število kock dobimo tudi, če eno ob drugo položimo pet ploskvic, v vsaki pa imamo štiri stolpce po tri kocke.
Rečemo, da je množenje asociativno. Zapišemo .
Poenostavimo
Naslednja animacija prikazuje krajšanje faktorjev v ulomkih. Okrajšan izraz je po navadi preglednejši in krajši.
Tudi naslednji zgled prikazuje, kako si z ustreznim izborom vrstnega reda faktorjev olajšamo delo.
Najprej smo le zamenjali vrstni red faktorjev. Sledi množenje celih števil in krajšanje ulomkov ter na koncu še eno množenje.
Naloge 2
Vrednost spodnjih izrazov izračunaj čim krajše in ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
To se le namigi, kako do rešitve, možne pa so tudi druge poti.
Lastnosti seštevanja in množenja
Pri poenostavljanju računov smo uporabljali lastnosti seštevanja in množenja. Zapišimo jih znova in dodajmo še slovenska imena teh računskih zakonov.
Odštevanje in deljenje
Ves čas govorimo le o seštevanju in množenju. Odštevanje je pravzaprav prištevanje nasprotnega števila, deljenje pa je množenje z obratno vrednostjo.
Vrstni red operacij
Množenje in deljenje imata prednost pred seštevanjem in odštevanjem. Vrstni red operacij lahko določimo tudi z uporabo oklepajev. Oklepaj pove, katera operacija ima prednost.
In če dodamo še oklepaj:
Distributivnost
Spodnja animacija prikazuje še enega od računskih zakonov, ki poveže seštevanje in množenje. To je distributivnostni zakon. Prikazan je z delitvijo ploščine pravokotnika.
Distributivnost
V spodnjih zgledih je uporabljena distributivnost. Prvi in drugi zgled smo rešili na oba načina. Prvič z uporabo distributivnosti, drugič pa z upoštevanjem vrstnega reda operacij, določenega z oklepajem.
Ko seštevamo ulomke, se je treba potruditi in poiskati najmanjši skupni imenovalec.
In še zgled s koreni.
Distributivnost
Zakaj je tretji zgled prikazan le na en način?
Korenov ne moremo sešteti ali odšteti. Če bi uporabili računalo, bi približne vrednosti korenov lahko odšteli. Dobili bi približek rezultata.
Distributivnost uporabimo tudi pri množenju dveh dvočlenikov. Najprej uporabimo distributivnostni zakon na prvem faktorju . Z vsakim členom tega faktorja pomnožimo drugi faktor . Nato še dvakrat uporabimo distributivnost na faktorjih . Dvočlenika torej pomnožimo tako, da vsak člen prvega pomnožimo z vsakim členom drugega.
Naloge 3
Izračunaj vrednosti izrazov. Poskusi izraze izračunati na dva načina. Ustrezno poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
Uredi
Prenesi račune v okvirčke k tistemu računskemu zakonu, ki smo ga v računu uporabili. Račun primi z miško za zeleno piko ob njem in ga prenesi.
Izračunaj
Izračunaj spodnje račune in jih ustrezno poveži z rezultati.
Odlično, rešitev je pravilna.
Koreni v imenovalcu ulomka
Ulomek je kvocient dveh števil, torej le drugače zapisano deljenje.
Kako neko celoto razdeliti na enakih delov, si zagotovo predstavljaš. Zakaj je deljenje z nič neizvedljivo? Je možno celoto razdeliti na nič delov? Ne gre. Kaj pa delitev celote na delov? Bi šlo. To si je zares težko predstavljati, zato se temu najraje izognemo. Drugače povedano, korena v imenovalcu se skušamo znebiti. Kako? Poskusimo s primeri.
Ulomek razširimo tako, da se znebimo korena v imenovalcu. Upoštevamo, da je .
Rezultat več nima korena v imenovalcu. Oglejmo si še nekaj zgledov.
Naloge 4
Odpravi korene v imenovalcih in izračunaj.
Odlično, rešitev je pravilna.
Racionalizacija
Koren lahko nastopi v imenovalcu tudi kot člen vsote ali razlike.
Idejo, kako odpraviti koren v takšnem primeru, dobimo na podlagi produkta
Kaj dobiš, če odpraviš oklepaje v izrazu ?
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Racionalizacija
Sedaj pa si oglejmo še uporabo dobljenega obrazca za racionalizacijo.
In še nekaj zgledov:
Naloge 5
Racionaliziraj in izračunaj.
Odlično, rešitev je pravilna.
Poišči prave rezultate
Reši spodnje račune in jim priredi prave rezultate.
Odlično, rešitev je pravilna.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
1. naloga
Izračunaj in poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
2. naloga
Izračunaj in poveži.
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Izračunaj oziroma racionaliziraj.
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Izračunaj oziroma racionaliziraj.
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
- Računske operacije
- Opazuj in razmisli
- Olajšajmo si delo
- Kako računamo z ulomki?
- Računanje s koreni
- Naloge 1
- Kaj pa množenje?
- Poenostavimo
- Naloge 2
- Lastnosti seštevanja in množenja
- Odštevanje in deljenje
- Vrstni red operacij
- Distributivnost
- Naloge 3
- Uredi
- Izračunaj
- Koreni v imenovalcu ulomka
- Naloge 4
- Racionalizacija
- Naloge 5
- Poišči prave rezultate
- Preveri svoje znanje
- 1. naloga
- 2. naloga
- 3. naloga
- 4. naloga
- Rezultati
