Sinus in kosinus
Z miško klikni na točko in jo premikaj po enotski krožnici. Pri tem opazuj vrednosti sinusa in kosinusa.
Sinus kota je ordinata točke, v kateri drugi krak kota seka enotsko krožnico, kosinus kota pa je abscisa te točke.
Definicijsko območje sinusa in kosinusa je množica realnih števil, saj lahko poljubnemu kotu poiščemo vrednost sinusa in kosinusa. Obe funkciji sta omejeni, dosežeta lahko le vrednosti med in . Torej je zaloga vrednosti interval .
Sinus je liha, kosinus pa soda funkcija.
Graf funkcije sinus
Funkcija sinus je realna funkcija, podana s predpisom .
Njene lastnosti so:
Vrednost sinusa je odvisna od velikosti kota. Graf funkcije sinus bomo narisali tako, da bomo na abscisno os nanašali vrednost kota v radianih, na ordinatno os pa vrednost sinusa.
Graf funkcije sinus
Spodnja slika nam prikazuje graf funkcije , ko spreminjamo kot radianih od do .
V zgornjem koordinatnem sistemu imamo narisan graf sinusa od do . Vemo, da je funkcija sinus periodična funkcija z osnovno periodo , zato je graf na intervalu od do po obliki enak grafu od do . Prav tako velja za naslednje intervale od do neskončno ter za intervale dolžine levo od izhodišča. Graf funkcije sinus imenujemo sinusoida.
SINUSOIDA
Iz zgornjega grafa funkcije so lepo vidne določene lastnosti funkcije sinus, ki jih sicer poznamo že od prej in nam bodo v pomoč pri risanju grafov zahtevnejših funkcij, povezanih s funkcijo sinus.
Primer 1
Izračunajmo ničle, minimume in maksimume funkcije . Pri tem si bomo pomagali z letakom, kjer so opisane lastnosti.
Ničle sinusa nastopijo pri , torej nastopijo ničle funkcije pri , kjer je celo število. Podobno s pomočjo letaka dobimo minimume in maksimume. Najdeš jih v spodnji tabeli.
| ničle | abscise maksimumov | abscise minimumov | |
Primer 1
Zapišimo ničle funkcije : ..., , , , , , , , ...
Maksimumi funkcije so točke, kjer funkcija doseže največjo vrednost. Maksimumi funkcije so točke , kjer je celo število.
Zapišimo nekaj maksimumov: , , , .
Minimumi funkcije so točke, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost. Minimumi funkcije so točke , kjer je celo število.
Zapišimo še nekaj mimimumov: , , , .
Ko imamo izračunanih nekaj točk, ki ležijo na grafu funkcije , lahko narišemo njen graf.
Konstrukcija grafa funkcije sinus
Na zgornji sliki je po korakih prikazana konstrukcija grafa funkcije . Najprej se na grafu izrišejo ničle, nato minimuni, maksimumi in čisto na koncu krivulja z enačbo . Poleg te krivulje je še narisan graf funkcije sinus.
S tem, ko neodvisno spremenljivko pomnožimo s konstanto, se spremeni osnovna perioda funkcije. Ohranita se definicijsko območje in zaloga vrednosti funkcije.
Konstrukcija grafa funkcije sinus
Če neodvisno spremenljivko pomnožimo z neko konstanto, opazimo, da se graf funkcije raztegne oziroma skrči v smeri abscisne osi.
Kolikšna je osnovna perioda funkcije ?
Osnovna perioda funkcije je:
Odlično, rešitev je pravilna.
Primer 2
Narišimo graf funckije .
Najprej določi, ničle, minimume in maksimume funkcije .
Ničle nastopijo pri .
Največja vrednost, ki jo doseže funkcija je .
Maksimumi so , kjer je celo število.
Najmanjša vrednost, ki jo doseže funkcija je .
Minimumi so , kjer je celo število.
Primer 2
Graf funkcije .
V čem se razlikujeta krivulji in ?
Ohrani se perioda in definicijsko območje, spremenijo pa se vrednosti sinusa pri istih vrednostih neodvisne spremenljivke. Graf funkcije se raztegne v smeri osi.
Zaloga vrednosti funkcije je interval .
Graf funkcije
Z miško spreminjaj vrednosti parametrov in in opazuj, kako vplivata na graf funkcije.
S spreminjanjem parametra se krči oziroma razteza graf funkcije v smei osi. S tem se spreminja tudi zaloga vrednosti funkcije. Če je , se graf raztegne, če pa je , se graf skrči. Zaloga vrednosti funkcije je interval .
S spreminjanjem vrednosti parametra se graf funkcije sinus raztegne oziroma skrči v smeri osi. S tem se spreminja perioda osnovne funkcije. Če je , se graf osnovne funkcije skrči in se perioda zmanjša. Če pa je , se graf raztegne, perioda funkcije pa se poveča. Perioda funkcije je .
Primer 3
Narišimo graf funkcije .
Izračunaj ničle ter vrednosti neodvisne spremenljivke, kjer nastopijo minimumi in maksimumi funkcije .
| ničle | abscise maksimumov | abscise minimumov | |
Iz tabele opazimo, da se vse vrednosti abscis spremenijo za . Torej bo tudi graf po obliki enak, le premakne se v smeri osi.
Primer 3
Na sliki primerjaj grafa funkcij in .
Če neodvisni spremenljivki prištejemo pozitivno realno število , se graf osnovne funkcije premakne za v levo v smeri osi oziroma če odštejemo pozitivno realno število , se graf osnovne funkcije premakne za v desno v smeri osi.
Primer 3
Kako pa se spreminja graf osnovne funkcije, če vrednostim sinusa prištevamo ali odštevamo konstanto? Preveri na spodnji sliki.
Z miško spreminjaj parameter in pri tem opazuj spreminjanje grafa funkcije.
Če je parameter pozitivno število, se graf funkcije premakne navzgor po osi, če pa je negativno število, se graf premakne po osi navzdol.
Za osvežitev spomina
Pridobljeno znanje povežimo z že znanim. Se še spomniš transformacij v ravnini?
Imejmo dan graf realne funckije s predpisom . Kako vplivajo parametri , , in na graf funkcije ?
... razteg v smeri x osi,
... premik v smeri x osi,
... razteg v smeri y osi in
... premik v smeri y osi.
Poišči pravilna predpisa
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
in
Graf funkcije kosinus
Poglejmo si naslednjo zvezo med sinusom in kosinusa kota:
Torej do grafa funkcije pridemo tako, da graf funkcije premaknemo za v smeri osi v levo.
Graf funkcije kosinus
Graf funkcije kosinus
Še en primer za konec
Narišimo graf funkcije .
Najprej bomo narisali krivuljo , nato bomo krivuljo premaknili v desno za . S tem dobimo krivuljo z enačbo . V naslednjem koraku bomo upoštevali, da vse vrednosti kosinusa pomnožimo s , torej bomo narisali krivuljo . V zadnjem koraku bomo upoštevali še prišteto konstanto , torej prestavimo graf za eno enoto po osi navzgor. S tem dobimo graf funkcije .
Še en primer za konec
Na spodnji sliki se po korakih izrisujejo posamezne krivulje:
,
,
,
.
1. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
Odgovor je napačen. Rešitev je:
in
Odlično, rešitev je pravilna.
Odgovor je napačen.
Minimumi funkcije nastopijo pri , , maksimumi pa pri , .
2. naloga
Nariši graf funkcije podane s predpisom .
3. naloga
Zapiši periode funkcij.
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Zapiši predpis za funkcijo , katere graf je na slliki. Graf funkcije dobiš z raztegoma funkcije v smeri koordinatnih osi.
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Rezultati
