V spodnjem koordinatnem sistemu je narisan graf funkcije y=f(x).

Narišite še grafe funkcij:

• g₁(x)=2*f(x)
• g₂(x)=f(x-1)
• g₃(x)=f(x)-1

Graf f(x):

Graf funkcije f(x)

Nalogo razdelimo na dva dela.

1. S pomočjo grafa funkcije ugotovimo za katero funkcijo gre.
2. S pomočjo f(x) narišemo želene grafe funkcij g₁(x), g₂(x), g₃(x).

Opomba Če bi se reševanja lotili na list (brez uporabe računalniških orodij oz. programov), ne bi rabili vedeti za katero funkcijo gre. Kot bomo videli v naslednjih prosojnicah, bi pri prvi funkciji g, pomnožili vse y koordinate z 2, pri 2., bi vsem x koordinatam osnovne funkcije prišteli 1, pri 3. oz. zadnji, bi osnovni graf pomaknili za 1 navzdol.

Recimo, da je funkcija polinom. Iz grafa lahko razberemo ničle in določene točke.

Spomnimo se:
Če poznamo vse ničle in vsaj eno točko na grafu lahko polinom zapišemo v ničelni obliki.

p(x)=A(x-x₁)(x-x₂)...(x-x_n)

• x₁,x₂,...,x_n so ničle
• A je vodilni koeficient

1.1 Poiščemo ničle in točko na podanem grafu:

S pomočjo zgornje teorije in podanege grafa, lahko torej ugotovimo za katero funkcijo gre.

• Ničle:

  • x_1=-2
  • x_2,3=1 (x=1 je dvojna ničla)

• Točke na grafu:

  • T_1=(0,1)
  • T_2=(2,2)
  • T_3=(-1,2)

1.2 Poiščemo vodilni koeficient:

1. p(x)=A*(x+2)*(x-1)*(x-1) oz. p(x)=A*(x+2)*(x-1)²

2. V enačbo vstavimo eno izmed točk, ki leži na grafu funkcije in jo rešimo.

   1. p(0)=A*2*(-1))²=1 --> A=0.5
3. p(x)=0.5*(x+2)*(x-1)²

Podana funkcija se na podanem intervalu obnaša enako kot naš izpeljani polinom.

1.3 Narišemo funkcijo:

Pomagali si bomo s programom Geogebra.
V GeoGebri funkcijo definiramo oz. narišemo tako, da v ukazni vrstici podamo eksplicitno enačbo funkcije

• Ukaz: f(x)=0.5*(x+2)*(x-1)^2

Premislimo:
Kaj funkcija g₁(x) naredi z grafom funkcije f(x)?

Odgovor

Splošno:

g(x)=a*f(x) --> Realno število a poskrbi za razteg v y-smeri (y koordinata se pomnoži z a, x koordinata pa ostane enaka)

• Opomba 1.: Ničle se ne spremenijo!
• Opomba 2.: V primeru, da je 0<a<1 – se graf funkcije »splošči«.
• Opomba 3.: V primeru, da je a negativno število, se graf prezrcali še čez x-os

Spet bomo risali v GeoGebri in v isti datoteki, kjer smo prej že definirali funkcijo f(x).
Za definiranje g₁ lahko uporabimo kar f(x).

• Ukaz: g_1=2*f(x)

Grafa funkcij f(x) in g1(x).

Premislimo:

Kaj funkcija g₂(x)=f(x-1) naredi z grafom f(x)?

Odgovor

Splošno:

g(x)=f(x-b) --> premik grafa funkcije v smeri osi x za število b.

• b>0 --> premik v desno za b
• b<0 --> premik v levo z b

x-koordinate grafa se spremenijo za +b, y-koordinate pa ostanejo enake.

Spet si pomagamo s f(x):

• Ukaz: g_2=f(x-1)

Grafa funkcij f(x) in g2(x).

Premislimo:

Kaj funkcija g₃(x)=f(x-1) naredi z grafom f(x)?

Odgovor

Splošno:

g(x)=f(x)+c --> premik grafa funkcije v smeri osi y za število c.

1. c>0 --> premik navzgor za c
2. c<0 --> premik navzdol za c

y-koordinate grafa se spremenijo za c, x-koordinate pa ostanejo enake.

Tako kot v prejšnjih dveh primerih, si tudi tukaj pomagamo s f(x).

• Ukaz: g_3(x)=f(x)-1

Grafa funkcij f(x) in g3(x).

Konstrukcija v GeoGebri - ukazi:

• f(x)=0.5*(x+2)*(x-1)^2
• g_1(x)=2*f(x)
• g_2(x)=f(x-1)
• g_3(x)=f(x)-1

• Lahko spremenimo še barvo in debelino posamezni funkciji za boljši pregled.

  • Desni klik na objekt --> klik na Lastnosti (odpre se nam pomožno okno).
  • Barvo spremenimo v zavihku Barva, debelino grafa funkcije pa pod zavihkom Slog.

Geogebra datoteka