Ponovimo osnovno opredelitev ravninskega lika trapeza. Štirikotnik, ki ima dve stranici vzporedni, je trapez. To pomeni, da so kvadrat, pravokotnik, paralelogram in romb trapezi. Trapez pa je lahko tudi še kaj drugega. Poglejmo, kaj in kakšen je lik, ki se ponaša s tem imenom.

Pravokotnik je trapez, kot smo rekli. Če pa na stranici izberemo dve točki in , je štirikotnik prav tako trapez, saj ima dve stranici vzporedni. Vidimo pa, v čem se lahko trapez bistveno razlikuje od pravokotnika. To sta nevzporednis stranici, ki natančneje določata trapez. Lahko sta enaki (dobimo enakokraki trapez), lahko ena ostane pravokotna (pravokotni trapez), lahko pa je njuna lega in dolžina poljubna tedaj je pač trapez brez pridevnika.

Iz podatkov na sliki lahko izračunaš ploščino nastalega trapeza, če le veš, koliko sta točki in oddaljeni od oglišč in pravokotnika. Prav tako lahko izračunaš pomemben podatek, drugo vzporedno stranico, če je dana stranica pravokotnika. Izračunaj torej ploščino osenčenega trapeza iz podatkov na sliki.

Ploščina trapeza na sliki je:

Preveri

Iz paralelograma naredimo trapez kar v eni potezi, čeprav bi lahko ravnali tako, kot v primeru pravokotnika. Odrežimo z desne trikotnik. Nastane trapez, ki mu pri danih podatkih lahko izračunamo ploščino.

Izračunaj ploščino trapeza, ki je na sliki.

Ploščina trapeza je:

Preveri

Osnovni postopek je v primerjavi s pravokotnikom enak: obakrat ploščini izhodiščnega lika odštejemo ploščino trikotnika. Tudi v primeru pravokotnika je bilo tako, saj smo odšteli ploščino dveh pravokotnih trikotnikov, ki pa bi ju lahko združili v enega, kot je to v primeru paralelograma.

Tudi v kvadrat bi lahko včrtali trapez tako, kot v pravokotnik. Pa dajmo tokrat drugače. Poglej sliko in ugotovi, kakšne so odvisnosti podatkov za trapez.

Ploščina tega trapeza pa je že malce zahtevnejša, da bi jo izračunali kar tako preprosto, kot v prejšnjih dveh primerih. Poizkusi jo izračunati.

Ploščina trapeza je:

Preveri

Rešitev je dolgotrajna, ni pa težka.

Ob sliki so vsi ustrezni opisi. Spomniti se moraš le na sinusni izrek, definicije kotnih funkcij in potem videti, da ploščino osenčenega trapeza dobimo tako, da od ploščine trapeza odštejemo vsoto ploščin trapezov in .

Ploščino trapeza računamo po formuli:

če sta in osnovnici, pa višina posameznega trapeza. V našem primeru je višina trapeza četrtina diagonale kvadrata, torej:

Tudi v trikotniku s konstrukcijo vzporednice skozi točko na stranici dobimo trapez, katerega podatke lahko izračunamo iz podatkov trikotnika. To je na dinamični sliki predstavljeno s premenljivimi podatki. Tudi v tem primeru vidimo, da je trikotnik pravzaprav skrajni primer trapeza z enim pogojem, ki je na prazno izpolnjen. Vzporednica osnovnici je v tem primeru daljica z začetkom in koncem v isti točki , njena dolžina pa je cm.

Trapez, kjer sta nevzporedni stranici skladni, je enakokraki trapez. Če poenostavimo zgornji primer trapeza v kvadratu, vidimo takšen primer.

Na tej preprosti sliki lahko preveriš več stvari. Kako se z višino spreminja ploščina trapeza, lahko prebbereš iz slike. S pomikanjem točke na stranici do skrajnih leg in lahko določiš in poimenuješ zanimive, posebne primere.

Razišči pravilnost spodnjih izjav.

Preveri

Naj bo trapez podan z vsemi štirimi stranicami. Kako v tem primeru izračunamo njegovo ploščino?

Pomagamo si z razdelitvijo trapeza na paralelogram in trikotnik, kot kaže spodnja animacija. Premakni glavico levo ali desno, pa lahko preučiš pot do rešitve.

Še na en način si lahko pomagamo pri trapezu. Če zavrtimo trapez okrog središča stranice za , dobimo paralelogram. Srednjica je zveznica razpolovišč stranic in . Po zasuku se pojavi z dvojno dolžino, ki je enaka , kot je dolga osnovnica nastalega paralelograma. Torej je srednjica dolga

Ploščina trapeza je tedaj enaka polovični ploščini paralelograma, torej

Na spodnji animaciji pomakni točko v desno, pa boš to videl z opisom vred.

Za ploščino trapeza torej zadostujejo podatki za obe osnovnici in njegovo višino, saj imajo vsi taki trapezi enako ploščino, kot lepo vidimo na spodnji sliki, saj se ob premikanju točke ne spremeni noben podatek, ki je pomemben za ploščino.

V praksi velikokrat srečamo pravokotni trapez. To je trapez, v katerem je vsaj en kot ob osnovnici, pravi kot.

Kaj dobiš v primeru, da sta oba kota ob osnovnici prava?

Preveri

Dotikajočima se krožnicama določimo eno izmed treh skupnih tangent. Najlepše to vidimo na sliki. Kakšen je lik ?

Izračunaj ploščino tega lika in razdaljo med točkama in , če je cm in cm (pomakni konec puščice proti napisu Rešitev).

Ploščina meri:

Preveri

Podatki za to nalogo so preprost sistem dveh dotikajočih se krožnic in skupne tangente. Kako pa bi to tangento pravilno konstruiral, če sta podani le obe krožnici?

Potek konstrukcije po korakih:

• Najprej razpoloviš zveznico .
• Nato nad to zveznico konstruiraš polkrog.
• Skozi dotikališče krožnic načrtaš pravokotnico na zveznico .
• Presečišče polkrožnice in pravokotnice je točka, imenujmo jo , ki določa dve premici in .
• Dotikališče krožnic zatem zrcalimo preko teh dveh premic v točko na prvi krožnici in na drugi. Ti točki sta potem dotikališči skupne tangente.

Telovadka sloni na osnovnici trapeza.

Kaj smo že rekli na začetku? Znameniti cirkuški trapez z artistko se imenuje trapez najbrž zato, ker je prečna palica, na kateri sloni ali se zanjo drži artistka osnovnica spreminjajočega se trapeza, ki pa je v navpični legi lahko tudi pravokotnik.

Pravokotniku z dolžino cm in širino cm na zgornji stranici odrežemo z leve cm, z desne pa cm. Tako nastane trapez. Kolikšna je ploščina tega trapeza?

Ploščina trapeza je:

Preveri

Paralelgramu z osnovnico cm in stranico cm, ki z osnovnico oklepa kot , od oglišča odmerimo dolžino cm. Tako nastane trapez. Izračunaj njegovo ploščino.

Ploščina trapeza je:

Preveri

Na kateri višini v trikotniku moramo narisati vzporednico osnovnici, da bo razdelila trikotnik na trapez in manjši trikotnik z enakima ploščinama? V kakšnem razmerju pa sta ploščini, če je vzporednica na polovici višine?

Vzporednico osnovnici moramo narisati na višini:

Preveri

Če je trikotnik razdeljen po višini na polovico, sta ploščini trikotnika in trapeza v razmerju

Preveri

Kolikšna je krajša osnovnica trapeza s ploščino cm, daljšo osnovnico cm in višino cm?

Krajša osnovnica meri

Preveri

Enakokrakemu trapezu očrtan krog ima središče na večji osnovnici, višina pa je enaka polovici očrtanega kroga. Izračunaj razmerje ploščin trapeza in očrtanega kroga.

Razmerje je približno:

Preveri

Kolikšna je višina pravokotnega trapeza z osnovnicama cm in cm, če meri njegova ploščina cm?

Višina trapeza meri

Preveri

Ploščina trapeza meri cm, osnovnici merita cm in cm, višina pa cm. Koliko merita stranici in ?

Preveri

Srednjica trapeza meri cm, večja osnovnica cm, višina trapeza pa cm. Koliko meri ploščina tega trapeza in koliko krajša osnovnica?

Ploščina trapeza meri:

Preveri

Krajša osnovnica meri:

Preveri