Ena od lastnosti ploščine pravi, da imajo skladni liki enako ploščino. V krogu je krožni izsek del kroga, ki je določen z dvema točkama na krožnici in s tem s pripadajočim središčnim kotom. To je torej lik, ki ga omejujeta dve stranici in krožni lok. Če vzamemo v istem krogu dva taka izseka, ki imata enak pripadajoči središčni kot, ni težko verjeti, da sta skladna, potem pa tudi ploščinsko enaka.
Ploščina kroga
Ploščina kroga
E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)
Uvod
Krožni izsek
Na sliki poskusi pokriti zgornji krožni izsek s spodnjim tako, da pozorno premikaš črno točko.
Ploščina kroga
Pot do ploščine kroga ni enostavna. Čeprav je krog tako popoln lik, da so ga v starem Egiptu po božje častili, je pot do njegove ploščine kar zahtevna. Na spodnji animaciji bomo bolj podrobno raziskali eno od možnih poti do rezultata. Ploščino bomo izračunali ob predpostavki, da vemo, kako se izračuna obseg kroga in premislekom, ki pa do vseh svojih razsežnosti sega že v metode višje matematike.
Premikaj zgornjo točko
Ploščina kroga
Kako je ploščina odvisna od polmera. Iz zgornje animacije sklepamo, da je odvisnost kvadratna. Na spodnji animaciji to s pomočjo računalniške simulacije tudi računsko preverimo.
Odvisnost ploščine od polmera kroga
Računalo za ploščino
Za računanje ploščine torej ptrebujemo le čimbolj enostavno računalo. En lep primerek imamo na živi sliki.
Mimogrede vidimo tudi, kaj pomeni krog s ploščino . Krog se izrodi v točko, ki ponikne v drobno pikico sredi krožca, ki označuje središče krožnice.
Kakšna pa je odvisnost med ploščino in obsegom?
Odvisnost med ploščino in obsegom je
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Če ne gre drugače, pa računajmo:
, torej je iz tega polmer kvocient med obsegom in produktom , zato je:
torej je odvisnost tudi kvadratna, kot v primeru polmera.
Primer 1
Kolikšen je presek kroga, ki bi ga dobili, če bi prerezali Zemljo z ekvatorialno ravnino? Polmer zemlje je km.
Nekje ob Gibraltarski ožini je skrita točka. Če jo premakneš nad Švedsko, se ti odkrije še en rezultat. Razmerje polmerov in ploščin ekvatorialnega in trenutnega vzporednega kroga. Iz tega razmerja zopet lahko razbereš odvisnost med polmerom in ploščino kroga.
Poišči, pri katerem razmerju polmerov je razmerje ploščin . To odvisnost že poznamo, zato jo le še enkrat računsko preveri.
Razmerje ploščin je pri razmerju polmerov . Zakaj pa je ravno to razmerje pa razbereš, če se vrneš malo nazaj.
Ploščina krožnega izseka
Tukaj vidimo krožni izsek. Kako nastane in hkrati tudi, kako izračunamo njegovo ploščino. Imamo zopet preprosto računalo za računanje izseka kroga, žal le za primer, ko je polmer kroga m. Pomembno je, da opazimo sorazmerje med središčnim kotom in ploščino izseka. Na sliki imamo tudi formulo, ki jo lahko uporabljamo za ostale primere krogov.
Ploščina krogovega odseka
Izločimo še en zanimiv del kroga, to je krogov odsek. Kaj je, vidimo na animirani sliki, pa tudi računanje njegove ploščine je dovolj zgovorno prikazano. Z zgornjo točko odmaknem krogov odsek, potem pa še tetivni trikotnik, to je trikotnik, ki ga tvori tetiva z obema polmeroma. Vse podatke imamo, če poznamo polmer kroga in središčni kot, saj za računanje potrebujemo ploščino krogovega izsek, tega pa smo videli v prejšnjem razdelku.
Kolobar
Tudi kolobar poznaš že iz osnovne šole, tukaj ga ponovimo, da bomo o krogu in njegovih oblikah imeli celovit pregled. Kolobar omejujeta dva kroga, katerih meji se nikjer ne sekata.
Kvadratu včrtani krogi
| Iz slike vidiš enakost: zato je kar pa še polepšamo |
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Polmer, ki ga zavzamejo včrtani krogi, je:
Odlično, rešitev je pravilna.
Ponovimo
Središče očrtane krožnice leži na višini, ki je hkrati tudi težiščnica enakostraničnega trikotnika.
Ploščina enakostraničnega trikotnika je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo. Rešitev je:
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Od krogovega izseka, ki je v primeru enakostraničnega trikotnika tretjina celotne ploščine očrtanega kroga, odštejemo tretjino ploščine trikotnika in dobimo rešitev:
1. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Ploščina kroga je cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
2. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Ploščina krogovega izseka je cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
3. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Dolžina tetive je cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
4. naloga
Ploščina kroga se poveča krat. Kolikokrat se poveča polmer tega kroga?
Polmer kroga se poveča
Odlično, rešitev je pravilna.
5. naloga
Ploščini krogov sta v razmerju , polmer manjšega meri cm. Koliko meri
polmer večjega?
Polmer večjega kroga v tem primeru meri:
Odlično, rešitev je pravilna.
6. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Ploščina odseka nad kateto je cm.
Odlično, rešitev je pravilna.
7. naloga
Odlično, rešitev je pravilna.
To pa ne bo držalo.
Polmer kroga meri .
Odlično, rešitev je pravilna.
Rezultati
