VIR: Splošna matura - junij 2004 - osnovna raven – stran 7, 5. naloga

dosegljivo na

BESEDILO NALOGE

Diagonali romba ABCD merita in . Izračunajte dolžino stranice romba in njegovo ploščino.

• Preden sem se lotila risanja romba v GeoGebri sem upoštevala, da sta diagonali romba druga na drugo pravokotni, ter da diagonala f razpolavlja diagonalo e.
• Pri risanju romba, kadar imamo podani diagonali si lahko pomagamo tako, da narišemo krožnico okrog točke, ki jo predstavlja presečišče ene diagonale in njene simetrale in za polmer krožnice uporabimo polovico dolžine druge simetrale.
• Risanja v GeoGebri sem se lotila na enak način, kot bi se ga lotila brez tega programa (na list).
• Potek risanja v Geogebri:

Ustvarila sem točko A, ter v orodno vrstico napisala ukaz: e = Daljica[A,16], kar mi je narisalo diagonalo e, ki je dolga 16cm in poteka iz točke A v točko C (C je preimenovana prvotna točka B);

V naslednjem koraku sem s pomočjo ukaza: s=SimetralaDaljice[e] narisala razpolovišče diagonale e (na sliki premica s);

Presečišče premice s in diagonale e, ki sem jo dobila s pomočjo ukaza: S=Presečišče[e,s]; predstavlja polovico dolžine diagonale f;

Kot naslednje sem naredila krožnico s središčem v S in polmerom 6cm (kar je polovica dolžine celotne diagonale f), za to sem uporabila ukaz: k=Krožnica[S,6];

Izrišemo še diagonalo f: f=daljica[B,D];

V orodni vrstici izberemo ukaz presečišče dveh objektov in označimo krožnico(k), ter diagonalo e; GeoGebra nam izriše točko B in D, tako da še dobimo manjkajoči oglišči romba;

Na koncu le še v ukazno vrstico napišemo ukaze:

-- daljica[A,B]→stranica a,

-- daljica[B,C]→stranica b,

-- daljica[C,D]→stranica c in

-- daljica[D,A]→stranica d;

Skrijemo še odvečne črte in dobimo romb.

• Iskano dolžino romba in njegovo ploščino sem v GeoGebri 'izračunala' s pomočjo ukaza v orodni vrstici : razdalja ali dolžina ter ploščina.

Za izračun ploščine moramo le še označiti nastali romb z ukazom: mnogokotnik[A,B,C,D].

• Rezultati so pokazali naslednje:

dolžine stranic (ki so pri rombu vse enake)→ a=b=c=d=10cm;

ploščina→96cm2

• Še lastnoročno računanje s pomočjo formul:

končna slika v GeoGebri

Postopek reševanja naloge si lahko ogledate na spodnjem filmčku:

ggb datoteka

VIR: KAVKA, Dušan: Matematika za poklicno maturo: pregled temeljne učne snovi in nalog srednješolske matematike: priprava na poklicno maturo; Ljubljana: Modrijan, 2007; stran 172, naloga 539

BESEDILO NALOGE

Na šoli so v nekem oddelku dobili naslednjo porazdelitev velikosti dijakov. Ti so že razporejeni v razrede. Dopolnite tabelo. Izračunajte aritmetično sredino, relativno frekvenco in narišite frekvenčni poligon in histogram.

• Za reševanje te naloge sem se odločila, da bom uporabila Matlab;
• Ukazi, ki bom jih potrebovala za reševanje naloge so naslednji:

-- Mediana (s katerim bom izračunala aritmetično sredino razredov);

-- Sum (ki mi bo pomagal izračunati 'delne' vsote);

-- Plot (za izris frekvenčnega polinoma);

-- bar (za izris histograma);

POSTOPEK REŠEVANJA NALOGE:

• Najprej sem dane podatke napisala v obliki matrike, ki sem jo poimenovala A; na naslednji način:

• Za izračun aritmetične sredine sem uporabila ukaz median, pri čemer sem vzela celotni drugi in tretji stolpec matrike A, ter vse skupaj transponirala, da mi je Matlab vrednosti izpisal, kot stolpec;

• Za lažji izračun absolutne vrednosti sem si predhodno izračunala vsoto četrtega stolpca (število dijakov), z uporabo ukaza sum, na naslednji način:

• Relativne frekvence sem izračunala tako, da sem uporabila formulo za izračun le-te, in je naslednja:

število vseh poskusov je v mojem primeru število vseh dijakov, kar sem si prej že izračunala,

• Na koncu sem le še narisala frekvenčni poligon in histogram z ukazoma plot oziroma bar;

Ukazi v narekovajih nam določajo barvo črte (r,g,b) oblike črte (-) ipd., Fontsize-velikost pisave.

VIR: BRILEJ, Roman: Matematika na poklicni maturi: vzorci preizkusov znanja z rešitvami; Ljubljana: Ataja, 2001; stran 40, naloga 3 (vzorec A4)

BESEDILO NALOGE

Miha je metal igralno kocko in beležil število padlih pik. Tako je vrgel 18-krat 1 piko, 21-krat 2 piki, 24-krat 3 pike, 15-krat 4 pike, 15-krat 5 pik in 27-krat 6 pik.

a) V tabeli prikaži absolutne frekvence števila vrženih pik in njihove relativne frekvence.

b) Rezultate metov predstavi s frekvenčnim kolačem.

c) Izračunaj povprečno število padlih pik.

• Za reševanje te naloge sem uporabila Excel;
• Posebnih ukazov razen sum , ki mi bo izračunal vsoto podatkov , in product (za produkt) ne bom rabila, odločila sem se, da bom frekvenčni kolač naredila s pomočjo vrtilnih tabel, ki smo jih spoznali na vajah.

POSTOPEK REŠEVANJA NALOGE:

• Pri točki a sem si najprej ustvarila tabelo števila pik in absolutnih frekvenc, kar mi je pomagalo pri izračunu relativne, ki sem jo računala po naslednji formuli

pri čemer je število vseh poskusov vsota absolutnih frekvenc, tako da sem uporabila ukaz sum ter povlekla celice, kjer se nahajajo ti podatki. Rezultat je bil 120.

• Relativno frekvenco sem izračunala po zgoraj navedeni formuli in sicer sem v celico napisala izraz absolutna frekvenca/vsota poskusov, v mojem primeru je bil izraz naslednji: =B3/9 =>pri čemer je B3 absolutna frekvenca (18) in B9 vsota poskusov(120).

Enačaj (=) se uporablja za pisanje izrazov, 'dolarčki' pa za to, da zaklenemo to celico, saj se pri morebitnem potegu celic ne spreminja, in tako nam ni treba za posamezno relativno frekvenco pisati novih izrazov in tako samo celice potegnemo navzdol (pojavi se nam majhen črni kvadrat), kot vidimo na naslednji sliki.

• Pri točki b je bilo treba narisati frekvenčni kolač, ki sem ga naredila s pomočjo vrtilnih tabel na naslednji način:

-- Orodna vrstica =>vstavljanje => vrtilne tabele;

-- Pojavi se novo okno, ki od nas zahteva, da označimo celice, ki bi jih radi uporabili pri kasnejšem delu s podatki;

-- Nazo sem označila celotno tabelo;

-- Na novem listu Excela dobimo seznam polj vrtilnih tabel, katere lahko povlečemo na nekatera območja.

-- Jaz sem seznam polj razporedila tako, da sem število pik dala na 'polja na osi', absolutne frekvence pa med 'vrednosti', kjer je bilo nastavljeno da računa vsoto, tako da sem sedaj dobila vsoto absolutnih frekvenc, katere sem pa že prej izračunala z ukazom sum.

• Za risanje frekvenčnega kolača sem le označila vse podatke, ter pod ukazi vstavljanje kliknila na tortni grafikon. Spremenila sem le naslov, samo obliko (pisanje odstotkov, legenda).

• Pri točki c je bilo treba izračunati povprečno število padlih pik. Za začetek sem si izračunala 'delni' produkt števila pik in absolutne frekvence s pomočjo ukaza product, kasneje pa sem le še vsoto delnih produktov delila z vsoto poskusov in dobila povprečno število, ki znaša 3,575.

xlsx datoteka

VIR: Splošna matura – jesenski rok, 29.avgust 2005- osnovna raven - 9. Naloga

dosegljivo na

BESDILO NALOGE

Izračunajte ploščino lika med grafom funkcije , abscisno osjo in premicama in .

• Najprej izračunamo določeni integral f(x) v mejah od o do pi, kar sem preden sem se lotila reševati nalogo s pomočjo programa GeoGebre tudi naredila in sicer na naslednji način:

• Nalogo sem rešila s pomočjo GeoGebre;
• V ukazno vrstico sem vnesla ukaz: , kar mi je izrisalo graf funkcije;
• Ploščino lika med , abscisno osjo in premicama in sem izračunala s pomočjo ukaza katerega sintaksa je naslednja:

-- in sicer:

ggb datoteka

VIR: BRILEJ, Roman: Matematika na poklicni maturi: vzorci preizkusov znanja z rešitvami; Ljubljana: Ataja, 2001; stran 82, naloga 2 (vzorec C2)

BESEDILO NALOGE

Reši sistem enačb:

• To nalogo bom rešila s pomočjo Matlaba in Excela;
• Sistem linearnih enačb ima enolično rešitev, če je determinanta različna od 0, takrat tudi obstaja inverzna matrika le-te in lahko sistem rešimo s pomočjo naslednje formule: x=A^(-1)*b , kjer je A inverzna matrika, matrike sestavljene iz koeficientov sistema in b vektor prostih členov oziroma konstant;
• Zato sem najprej v Matlabu preverila ali je determinanta matrike A različna od 0;

• Dalje sem nalogo reševala v Excelu, kjer sem si sestavila naslednjo tabelo:

• Inverz matrike se v Excelu izračuna s pomočjo ukaza minverse, tako da sem le še morala inverzno matriko pomnožiti z vektorjem prostih členov.
• Produkt dveh matrik v Excelu izračunamo z ukazom mmult, ki vrne matriko z enakim številom vrstic kot jih ima prva matrika in z enakim številom stolpcev, kot jih ima druga matrika;
• Torej pričakujemo matriko s tremi vrsticami in enim stolpcem (kar predstavlja 3 neznanke, ki jih iščemo).
• Izraz, ki ga zapišemo je naslednji: MMULT(MINVERSE(B6:D8);F6:F8)
• Pri čemer so celice B6:D8-matrika koeficientov(od katere smo izračunali inverz-minverse),celice F6:F8 pa predstavljajo vektor prostih členov.
• Ta izraz vpišemo v celico pod celico z imenom rešitev, pred tem pa označimo vse tri celice, za 3 neznanke. Izraz zaključimo s pritiskom CTRL + SHIFT + ENTER, in dobimo 3 iskane neznanke (x,y,z).
• Rešitve so naslednje:

• Preverila sem še pravilnost rešitev (vstavim vrednosti x,y in z):

xlsx datoteka

VIR: KAVKA, Dušan: Matematika za poklicno maturo: pregled temeljne učne snovi in nalog srednješolske matematike: priprava na poklicno maturo; Ljubljana: Modrijan, 2007; stran 99, naloga 268.

BESEDILO NALOGE

Zapišite zalogo vrednosti funkcije in ugotovite točke, v katerih funkcija ni zvezna.

• Najprej bom graf funkcije narisala s pomočjo GeoGebre, nato pa zalogo vrednosti funkcije ter točke, v katerih funkcija ni zvezna odčitala z grafa;
• Za izris funkcije sem uporabila naslednje ukaze, ki sem jih vpisala v vnosno okno pri tem sem uporabila sintakso:

Število predstavlja spodnjo in zgornjo mejo funkcije

• Nezveznost funkcije sem iz grafa odčitala tako, da sem pogledala, pri katerem x-u se funkcije f, g in h ne stikajo; ne stikajo se pri x=-1 in x=1, tam se tudi narisala črtkane premice, ki dokazujejo, da se nismo zmotili pri odčitavanju z grafa;
• Zalogo vrednosti grafa funkcije gledamo po y-osi oziroma gledamo katere vrednosti y-ov graf funkcije zavzema; vidimo da poteka od -∞ do 3, saj je tam vrednost y največja.
• Le še zapišemo: Zf=(-∞,3]

ggb datoteka

VIR: KAVKA, Dušan: Matematika za poklicno maturo: pregled temeljne učne snovi in nalog srednješolske matematike: priprava na poklicno maturo; Ljubljana: Modrijan, 2007; stran 132, naloga 382

BESEDILO NALOGE

• Kasneje sem jih preverila s pomočjo Matlaba in ukaza roots.

Preverimo ničle:

Ničle polinoma p(x)=x^3-2x^2-x+2 so: -1, 2 in 1

Ničle polinoma q(x)=x^4+2x^3-2x^2-6x-3 so: -√3, √3 in -1 (dvojna)

VIR: BRILEJ, Roman: Matematika na poklicni maturi: vzorci preizkusov znanja z rešitvami; Ljubljana: Ataja, 2001; stran 84, naloga 7 (vzorec C2)

BESEDILO NALOGE

• Preden sem se lotila naloge reševati v programu GeoGebre sem si funkcijo narisala na list papirja;
• Najprej sem si funkcijo preoblikovala:

in vidimo, da je funkcija racionalna;

• Kot naslednje sem si izračunala ničle, pole in poševno asimptoto:

-- Ničle: 1-x=0 => x=1 (edina ničla),

-- pol: x=0 (gledamo imenovalec),

-- poševna asimptota (deljenje števca z imenovalcem)=>y=-1

• Nato sem funkcijo narisala še s pomočjo GeoGebre, kjer sem v ukazno okno vnesla naslednji izraz: f(x)=1/x-1

ggb datoteka