jsMath

Potence in koreni

Potence in koreni

Avtor: Skupina NAUK

Učni cilji: Razumevanje in uporaba pravil za računanje s potencami in koreni

Več o projektu...

Potence z naravnim eksponentom

Potenca an, kjer je n naravno število, je krajši zapis za produkt n-faktorjev števila a.

Številu an rečemo tudi n-ta potenca števila a. Število a imenujemo osnova, število n pa stopnja potence ali eksponent.

Kadar je eksponent naravno število, je osnova lahko poljubno realno število.

Pravila za računanje s potencami:

an·am=an+m
(a·b)n=an·bn
(an)m=an·m

Potenci z eksponentoma 2 in 3 imata še posebno ime. Potenci z eksponentom 2 rečemo tudi kvadrat, a2, potenci z eksponentom 3 pa kub, a3. Imeni imata geometrijski izvor.

(xnx2.png)

PREMISLITE

Ali tudi za število 0 velja ta definicija?

Odgovor

Zakaj eksponenta 1 ponavadi ne pišemo?

Odgovor

0 ni naravno število. Za 0 veljajo posebna pravila pri potenciranju.

Eksponenta 1 ne pišemo, ker je a1 = a. Eksponent namreč pove, kolikokrat osnovo pomnožimo samo s sabo. Če je eksponent 1, pomnožimo a enkrat, kar je enako a.

Potence s celim eksponentom

Potence z negativnim celim eksponentom definiramo kot a−n=1an.

Potence z eksponentom 0 definiramo kot a0=1.

Kadar je eksponent negativno število ali 0, je osnova lahko poljubno realno število razen 0.

Pravila za računanje s potencami:

an·am=an+m
(a·b)n=an·bn
(an)m=an·m
anam=an−m
(ba)n=bnan
(ena.png)

PREMISLITE

Kako smo prišli do formule a−n=1an?

Odgovor

Zakaj je a0=1 za katerokoli število a?

Odgovor

Poglejmo, kaj pomeni a−n:

  • vemo, da je a−1=a1
  • število a−n lahko zapišemo kot (an)−1
  • preoblikujemo v ulomek 1an

Formula anam=am−n velja za katerakoli števila a, m in n. Če vzamemo m=n, potem na levi strani formule dobimo 1, na desni pa a0.

Kvadratni koren

Ko poznamo kvadrat števila, nas lahko zanima, katero število moramo množiti samo s seboj, da bomo dobili dani kvadrat. Postopku iskanja tega števila rečemo korenjenje, najdenemu številu pa kvadratni koren.

Kvadratni koren števila a je tisto število x, za katerega je x2=a. Število x zapišemo kot √a. Simbolu √ rečemo korenski znak, številu a pa korenjenec.

Poglejmo, kakšni sta lahko števili a in x:

  • x2 ni nikoli negativno število, zato je a lahko samo a≥0
  • enačba x2=a (za a≥0) ima dve rešitvi: x1=√a in x2=−√a

  • za definicijo kvadratnega korena vzamemo pozitivno od obeh vrednosti, torej x=√a

Do rešitev kvadratne enačbe x2=a lahko pridemo tudi z razstavljanjem:

x2=a
x2−a=0
(x−√a)·(x+√a)=0

Rešitvi sta dve: x1=√a in x2=−√a

Poglejmo še, kaj se zgodi, če imamo v istem izrazu kvadrat in kvadratni koren. Podariti je treba pomembno razliko glede na to ali najprej korenimo korenjenec in potem kvadriramo ali obratno:

  • (√a)2=a, to pravilo velja samo za a≥0
  • √a2=|a|, to pravilo velja za poljuben a

n-ti koreni

Pri kvadratnem korenu smo povedali, da je korenjenje obratna operacija od kvadriranja. Zdaj ta pojem razširimo za poljuben eksponent n, kjer je n naravno število. n-ti koren števila a je tisto število x, za katerega velja xn=a. Dobljeno število x zapišemo kot x=√na.

Ločimo dve definiciji, glede na to kakšna sta korenski eksponent n in število a:

  • Če je n sodo naravno število, potem mora biti a nenegativno realno število in je √na nenegativno realno število.
  • Če je n liho naravno število, potem je lahko a poljubno realno število in je √na realno število.

Pravila za računanje s koreni:

√n·ram·r=√nam
√na·√nb=√na·b
√n√ma=√n·ma 

za lihe korenske eksponente velja še

√n−a=−√na

Dogovor glede zapisa :

  • √2a=√a
  • √1a=a
(xn.png)

PREMISLITE

Kakšen je koren √na, če je n sodo število in a negativno število?

Odgovor Koliko je √0a?

Odgovor

Ali velja tudi zveza √na+b=√na+√nb?

Odgovor

Ta koren ne obstaja, zato ker je soda potenca poljubnega števila (pozitivnega ali negativnega) pozitivno število.

Ta koren ne obstaja. Korenski eksponent je lahko samo naravno število, 0 pa ni naravno število.

Zveza √na+b=√na+√nb ne velja v splošnem, velja pa za nekatera izbrana števila n, a in b.

Primer 1- zveza ne velja:

  • √9+16=√25=5
  • √9+√16=3+4=7

Primer 2 - zveza velja:

  • √1+0=√1=1
  • √1+√0=1+0=1
(koren1_2.png)

Delno korenjenje in racionalizacija imenovalca

Delno korenjenje je postopek, ki ga uporabimo, kadar želimo koreniti število, ki ni popoln kvadrat, ga pa lahko zapišemo kot produkt popolnega kvadrata in še enega števila.

Zgled: √75=√25·3=5·√3


Postopek, kjer v imenovalcu ulomka odpravimo koren, imenujemo racionalizacija imenovalca. To naredimo tako, da ulomek (števec in imenovalec) pomnožimo s takim izrazom, da v imenovalcu odpravimo ulomek.

Zgled 1: 3√2=3·√2√2·√2=√43·√2=23·√2

Zgled 2: 2√3−1=2·(√3+1)(√3−1)·(√3+1)=3−12·(√3+1)=√3+1

(koren in zajec2.png)

PREMISLITE

Kako delno korenimo za poljuben korenski eksponent n?

Odgovor

Delno korenimo, kadar je eksponent korenjenca večji od korenskega eksponenta, ni pa večkratnik korenskega eksponenta. Delno korenimo tako, da eksponent korenjenca zapišemo kot vsoto večkratnika korenskega eksponenta in ostanka. Večkratniški del potem korenimo, ostanek pa pustimo pod korenom.

Primer: √5a13=√5a10+3=√5a10·a3=a2·√5a3

Potence z racionalnim eksponentom

Koren lahko zapišemo tudi kot potenco z racionalnim eksponentom. Definiramo √na=an1 oziroma √nam=anm.

Pravila za računanje s potencami z racionalnim eksponentom so enaka kot pravila za računanje s potencami s celim eksponentom:

anm·arp=anm+rp
(a·b)nm=anm·bnm
(anm)rp=anm·rp
(ba)nm=bnmanm
arpanm=anm−rp
a−nm=1anm

Dogovorimo se, da bomo računali s potencami z racionalnim eksponentom samo takrat, kadar sta osnovi a in b pozitivni realni števili. Le v tem primeru je namreč vseeno, ali sta korenski in potenčni eksponent soda ali liha. Če bi imeli lahko tudi negativne osnove, bi morali vsako pravilo obravnavati posebej glede na to, kakšni so eksponenti.

PREMISLITE

Kako pretvorimo v koren potenco z negativnim racionalnim eksponentom a−nm?

Odgovor

Potenco a−nm pretvorimo tako, da predznak minus pripišemo številu v števcu. Potenčni eksponent je namreč lahko negativno število, korenski eksponent pa je lahko samo naravno število.

a−nm=an−m=√na−m
(y.png)

Zgled

Zdaj, ko poznamo povezavo med koreni in potencami, lahko izraze s koreni računamo na dva načina:

Oglejmo si oba načina pri poenostavljanju izraza √6a−2·b8√3a2·b−2·√a·b3.

Postopek 1 - računamo s koreni:

  • upoštevamo pravila za računanje s koreni, dokler ne dobimo samo enega korena:
  • √6a−2·b8√6a4·b−4·√6a3·b9
  • √6a−2·b8a4·b−4·a3·b9 
  • zdaj ko imamo samo en koren, upoštevamo pravila za računanje potenc:
  • √6a4+3−(−2)·b−4+9−8
  • √6a9·b−3
  • še okrajšamo koren:
  • √a3·b−1

Postopek 2 - računamo s potencami:

  • vse korene najprej spremenimo v potence z racionalnim eksponentom:
  • a6−2·b68a32·b3−2·a21·b23
  • upoštevamo pravila za računanje s potencami:
  • a32+21−6−2·b3−2+23−68
  • a23·b2−1

Pri obeh postopkih dobimo isti rezultat, le zapis je različen, v prvem primeru rezultat zapišemo s korenom, v drugem pa s potenco z racionalnim eksponentom.

(z2.png)
0%
0%