Gradiva nauk.si zahtevajo za pravilen prikaz sodoben brskalnik. Preverjeno delujejo
z brskalniki Mozilla Firefox 3.5+, Google Chrome 4.0+, Safari 4.0+, Internet Explorer 8.0+ ali Opera 10.50+.
V primeru, da uporabljate Internet Explorer 8, preverite, če imate vklopljen združljivostni način
(Compatibility view), ki ga lahko izklopite s klikom na ikono, ki jo vidite na spodnji sliki.
Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način
vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.
Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.
Kotne funkcije - teorija V2
Avtor: popravek Alja Gligić, Skupina NAUK
Učni cilji: Definicije in lastnosti kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku, definicije kotnih funkcij na enotski krožnici, lastnosti in grafi kotnih funkcij, adicijski izreki, računanje vrednosti krožnih funkcij, grafi in lastnosti krožnih funkcij, trigonometrijske enačbe
Hvala za ogled gradiva!
Veseli bomo vaših komentarjev. Obiščite nas na www.nauk.si.
Kotne funkcije
Kotne funkcije ali trigonometrične (trigonometrijske) funkcije so pomembne matematične funkcije.
Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so vrednosti funkcije odvisne od kota.
Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija.
Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu.
Kotne funkcije:
sinus (),
kosinus (),
tangens (),
kotangens ()
Definicije kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku
Kotne funkcije so razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika (za kote ).
Sinus kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in hipotenuzo.
Kosinus kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
Tangens kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in kotu priležno kateto.
Kotangens kota
je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.
Reši nalogo
Pravokotnik ima stranici 18,42 cm in 7,56 cm. Določite kota med diagonalo in stranicama.
Če želimo izračunati kot si lahko pomagamo s kotu priležno in kotu nasproti ležno stranico.
Tangens je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasproti ležečo kateto in kotu priležno kateto.
Kot in tako izračunamo s pomočjo kotne funkcije tangens.
Izračunali smo tangens kota, vendar mi potrebujemo kot. Zato izračunamo še kot s pomočjo računala in uporabimo inverzno funkcijo .
Kot .
Podobno izračunamo kot :
Kot .
Definicije kotnih funkcij na enotski krožnici
Središče enotske krožnice je v izhodišču koordinatnega sistema. Tam je tudi vrh kota, ki ima en krak na pozitivnem delu x osi. Drugi krak (gibljivi) pa vrtimo v pozitivni smeri (smer nasprotna urinega kazalca). Tak kot je pozitivni kot. Če krak vrtimo v isti smeri, kot se vrti urin kazalec, je kot negativen. V primerih, kjer se gibljivi krak večkrat zavrti preko nepremičnega (kraka na pozitivnem delu x osi), se dolžina loka večkrat "navije" na enotsko krožnico.
Sinus kota je ordinata točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. Kosinus kota je abscisa točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. Tangens kota je ordinata točke, kjer gibljivi krak kota seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1. Kotangens kota je abscisa točke, kjer gibljivi krak kota seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1.
Poljubno lahko premikate točko T.
S pomočjo izračuna na računalu se prepričajte ali sta sinus in kosinus kota resnično enaka koordinatam točke T.
Spomnimo se, da se pri vrtenju premičnega kraka na enotski krožnici, krak po polnem krogu zopet vrne v prvotno lego. Zato premični krak seka enotsko krožnico v isti točki, če ga zavrtimo za kot x ali če ga zavrtimo za
Tako sta funkciji kosinus in sinus za vsak določeni s predpisom:
Pri dokazu se spomnimo na definicijo sinusa in kosinusa na enotski krožnici. Tako lahko upoštevamo, da je abscisa, pa ordinata presečišča premičnega kraka kota x z enotsko krožnico.
Če uporabimo Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku, kjer velja , velja tudi v našem primeru zveza:
Če je A < 1, se kotna funkckija skrči v smeri y osi.
ZGLED:
Razteg kotne funkcije v smeri x osi
Pri raztegu funkcije v smeri x osi se spremenijo tako ničle, kot minimuni in maksimumi.
V tem primeru se spremeni krožna frekvenca funkcije, ki nam pove število valov na dolžini .
PRIMER:
Razteg funkcije sinus v smeri x osi :
Iz dane funkcije lahko vidimo, ima osnovna funkcija : razteg v y smeri za 3, razteg v x smeri za 2, premik v smeri x osi za .
Nalogo bi lahko rešili na 2 načina.
1.NAČIN:
Narisali bi osnovno funkcijo . Nato bi za vsak premik oziroma razteg narisali graf glede na prejšnji graf, na istem koordinatnem sistemu, postopoma bi prišli do končne slike.
Vendar moramo biti previdni pri raztegu v smeri x osi, saj se spremenijo ničle funkcije. Zato ničle izračunamo. Slika rešitve
2.NAČIN:
Izračunamo ničle, minimume in maksimume, ter narišemo krivujo skozi točke.
NIČLE:
Tabeliramo, da dobimo nekaj ničel,
ki jih narišemo na graf:
Ker je funkcija periodična so nam posledično znani tudi ostali minimumi in maksimumi.
Zaradi raztega v y smeri za 3, so y vrednosti ekstremov enake 3, saj ima funkcija zalogo vrednosti na intervalu med [-3,3].
Rešitev
Slika rešitve
Krožne (ciklometrične) funkcije
Krožne funkcije so kotnim funkcijam inverzne funkcije.
Imenujeno jih tudi arkus funkcije.
Rezultat krožne funkcije je kot, pri katerem funkcija doseže določeno vrednost. Dobljeni kot praviloma izrazimo v radianih.
Ker trigonometrijske funkcije niso bijektivne, inverzi ne obstajajo v vsej splošnosti.
Oznake funkcij
arkus sinus:
arc sin
arkus kosinus:
arc cos
arkus tangens:
arc tg, arc tan
arkus kotangens:
arc ctg , arc cot
Graf inverzne funkcije je ravno zrcalna slika grafa funkcije glede na simetralo lihih kvadrantov.
Funkcija ARKUS SINUS
Funkcija arkus sinus (arcsin) je inverzna funkcija funkcije sinus. je bijektivna, zato obstaja inverzna funkcija
Za število z intervala je enak številu , za katerega velja :
Funkcija arkus sinus je definirana samo za
Zaloga vrednosti () funkcije je na intervalu .
Funkcija ARKUS KOSINUS
Funkcija arkus kosinus (arccos) je inverzna funkcija funkcije kosinus.
Za število z intervala je enak , za katerega velja :
Podobno kot arkus sinus je tudi funkcija arkus kosinus definirana samo za .
Zaloga vrednosti () funkcije je na intervalu .
Funkcija ARKUS TANGENS
Funkcija arkus tangens (arctan) je inverzna funkcija funkcije tangens.
Za realno število je enak , za katero velja :
Definicijsko območje funkcije je celotna x os.
Zaloga vrednosti funkcije je na intervalu .
Funkcija ARKUS KOTANGENS
Funkcija arkus kotangens (arc ctg) je inverzna funkcija funkcije kotangens.
Za število je enak , za katero velja :
Definicijsko območje funkcije je celotna x os.
Zaloga vrednosti funkcije je na intervalu .
Računanje vrednosti krožnih funkcij
Izračunajmo nekaj primerov vrednosti krožnih funkcij. Za računanje vrednosti brez računala moramo poznati vrednosti kotnih funkcij pri določenih kotih. Velja še :
ZGLED 1:
V tem primeru iščemo kot katerega sinus je .
Rešitev , oziroma v radianih .
ZGLED 2:
ZGLED 3:
ZGLED 4:
Ker vemo, da je , zapišemo namesto kót in namesto kót .
Uporabimo adicijski izrek:
Trigonometrične enačbe
Trigonometrične enačbe so enačbe v katerih nastopajo kotne funkcije, neznanka pa je kót.
Primeri:
1.)
2.)
Osnovne trigonometrične enačbe imajo obliko: kotna funkcija (x) = a, .
Pri zapisu rešitev moramo vedno upoštevati periodičnost trigonometričnih funkcij.
Reševanje enačb si poglejmo na splošnih primerih:
Za a iz definicije funkcije sinus vemo, da je . Torej ima enačba rešitev samo v tem primeru.
S pomočjo slike si poglejmo kako pridemo do rešitve:
