Pritisnite F11

Iz varnostnih razlogov je mogoče celozaslonski način vključiti samo s pritiskom na gumb F11 na tipkovnici.

Ko ste enkrat v celozaslonskem načinu, ga izključite spet s pritiskom na F11.

Glavna lastnost zaporedja je vrstni red. Zato zaporedje vedno slika iz množice naravnih števil. Množica, v katero slika, pa je lahko karkoli. Pri številskih zaporedjih je to množica števil (ponavadi realnih, lahko pa tudi katerih drugih).

Zgled:

Imamo množico vseh pravilnih večkotnikov . Postavimo jih v zaporedje tako, da bo na prvem mestu trikotnik, na vsakem naslednjem mestu pa lik, ki ima eno oglišče več od predhodnega. Kako bi zapisali preslikavo?

• je trikotnik
• je lik, ki ima število oglišč lika

Abeceda je zaporedje, ker predstavlja vrstni red črk. Točno vemo, na katerem mestu je katera črka. Ni pa številsko zaporedje, ker so elementi, ki jih postavljamo v vrsto, črke in ne številke.

Predpis funkcije za abecedo je tak: , kjer A predstavlja množico vseh črk.

Iz grafa lahko vedno zapišemo zaporedje. Ker na os nanašamo , poznamo vrstni red členov zaporedja oziroma vemo, h kateremu pripada katera vrednost .

Preberemo zaporedje z grafa: 1, 0, 3, 1, -1, 0, -1, 1

Iz številske premice pa členov zaporedja ne moremo napisati, saj iz slike vrstnega reda ne moremo razbrati. Zato moramo pri ponazarjanju zaporedja na številski premici točke označiti z , , ...

Tukaj zaporedja ne moremo prebrati s slike, ker ne poznamo vrstnega reda.

Tukaj lahko zaporedje preberemo s slike, ker so členi točno označeni. Zaporedje je: 1, 0, 3, 2, -1, , -2,

Recimo, da ima navzgor omejeno zaporedje zgornjo mejo . Potem so zgornje meje tega zaporedja tudi 5 pa 6 pa tudi . Vidimo, da je zgornjih mej neskončno. Najbolj nas zanima tista zgornja meja, ki je najbližje zaporedju, saj najbolj natančno opiše, do kje segajo členi zaporedja. Taki meji rečemo natančna zgornja meja. To je tista zgornja meja, ki je najmanjša izmed vseh zgornjih mej.

Zgled:

Vzemimo zaporedje . Členi tega zaporedja so: , , , , , ,... Členi se približujuejo 1, noben pa ni večji od 1. Zgornje meje so 1 in vsa števila večja od 1. 1 pa je najmanjše od teh zgornjih mej, zato je 1 natančna zgornja meja.

Enako velja za spodnjo mejo.

Za naraščajoče zaporedje velja ravno obratno kot za padajoče:

• Definicija pravi, da je zaporedje naraščajoče, če velja .
• To še drugače zapišemo
• Izračunamo torej in če je dobljena vrednost pozitivna ali enaka 0 za vse , potem je zaporedje padajoče.

Še drugi način:

• Če so vsi členi zaporedja pozitivni, potem lahko neenakost delimo z in dobimo
• Izračunamo in če je dobljena vrednost večja ali enaka ena, potem je zaporedje padajoče.

Poglejmo zaporedje . Graf tega zaporedja izgleda takole:

Kakšna je torej razlika ?

Poglejmo, kakšna sta števec in imenovalec:

• števec je pozitiven za , za ostale pa je negativen.
• imenovalec je za in negativen.
• iz teh dveh podatkov dobimo, da je za vrednost ulomka negativna, za pa pozitivna.
• ker vrednost razlike spremeni predznak za različne , pomeni, da zaporedje ni ne naraščajoče, ne padajoče.

Prvi način

Dano je zaporedje . Določite, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče.

• Zapišemo člen (to storimo tako, da namesto povsod v enačbo zaporedja pišemo ):

• Izračunamo razliko :
• Ker je naravno število, je imenovalec vedno pozitiven, zato je ulomek pozitiven. Razlika je torej večja od 0, zato je zaporedje naraščajoče.

Drugi način

Dano je zaporedje . Določite, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče.

• Zapišemo člen (to storimo tako, da namesto povsod v enačbo zaporedja pišemo ):

• Izračunamo količnik :
• Ker je števec večji od imenovalca, je ulomek večji od 1, zato je zaporedje naraščajoče.

Kadar nimamo podane zgornje ali spodnje meje, jo najprej poskusimo uganiti, potem pa še dokažemo, če je res prava.

Pri ugibanju si lahko pomagamo tako, da napišemo nekaj členov zaporedja in iz tega ugotovimo obnašanje zaporedja. Pomagamo si lahko tudi s tem, da najprej ugotovimo, ali je zaporedje padajoče ali naraščajoče oziroma določimo intervale naraščanja in padanja.

Zgled:

Določite omejenost zaporedja .

• Napišemo nekaj členov: 0, , ,
• Ugibamo, da je zgornja meja .
• Dokažemo zgornjo mejo: . je res zgornja meja.
• Ugibamo, da zaporedje nima spodnje meje, saj so števila vedno večja v negativno smer.
• Poglejmo to bolj podrobno: zapišimo kot . Ko raste, je vedno manjši, zato je razlika vedno večja in zaporedje nima spodnje meje.

Naraščanje - padanje:

Aritmetično zaporedje je naraščajoče, če je diferenca pozitivna, in padajoče, če je diferenca negativna. Če je razlika 0, je zaporedje konstantno.

• , : 3, 5, 7, 9, 11, ...
• , : 3, 1, -1, -3, -5, -7, ...
• , : 3, 3, 3, 3, 3, ...

Omejenost:

Aritmetično zaporedje je vedno na eni strani omejeno, na drugi pa ne. Če je diferenca negativna, potem zaporedje pada in je navzgor omejeno, zgornja meja je prvi člen zaporedja . Če je diferenca pozitivna, potem zaporedje narašča in je navzdol omejeno, spodnja meja je prvi člen zaporedja .

• , : 3, 5, 7, 9, 11, ...;
• , : 3, 1, -1, -3, -5, -7, ...;

Zapišite splošni člen aritmetičnega zaporedja z diferenco 5 in desetim členom .

Diferenco imamo že podano, izračunati moramo še prvi člen .

• Izrazimo :
• Podan imamo 10. člen, zato namesto pišemo 10:
• Vstavimo dane podatke in izračunamo:
• Zapišemo splošni člen:

Lastnosti geometrijskega zaporedja so odvisne od količnika in prvega člena.

Zapišite splošni člen geometrijskega zaporedja s količnikom in šestim členom .

Da lahko zapišemo splošni člen, moramo poznati prvi člen in količnik. Količnik je že podan, izračunati moramo še prvi člen.

• Podan imamo šesti člen, :
• Izračunamo:

Splošna formula za končno vrsto je . Ker imamo aritmetično zaporedje, lahko člene zapišemo takole:

Lahko jih pa zapišemo še drugače:

Če ta dva izraza seštejemo, dobimo na levi strani , na desni pa .

Ker imamo geometrijsko zaporedje, lahko zapišemo kot:

Če to enačbo pomnožimo s , dobimo

Ti dve enačbi med seboj odštejemo, na desni strani se med seboj odštejejo skoraj vsi členi, ostane:

Izrazimo :

Splošni člen geometrijskega zaporedja je . Če je , je geometrijsko zaporedje konstantno: .

Vsota prvih členov geometrijskega zaporedja v tem primeru izračunamo kar po formuli

Zaporedje na animaciji ima dve stekališči. Stekališči sta 1 in .

Poglejmo zaporedje . Členi zaporedja so: 1, 2, , 4, , 6, , 8... Členi , kjer ne liho število, se stekajo proti 0. Členi , kjer je sodo število, pa rastejo v neskončnost. Zaporedje torej ima eno stekališče, to je število 0, vendar pa niso vsi členi od nekega naprej v okolici tega stekališča, zato to stekališče ni limita zaporedja.

Geogebra datoteka

Končno zaporedje nima limite. Definicija stekališča pravi, da mora biti v okolici neskončno mnogo členov, končno zaporedje pa ima samo končno mnogo členov, zato tega pogoje ne izpolnjuje.