Praštevila

Praštevila

Avtor: E-um (vsebinsko), Skupina NAUK (tehnično)

Uvod



 
Kaj si predstavljamo pod besedami prababica, pračlovek, prazgodovina, prasnov, pradelec? Predpona "pra" pomeni, da se je zgodilo nekaj prej, predstavlja nekaj starega, nekaj iz česar je sestavljeno novo. Prazgodovina je bila pred zgodovimo, prababica je bila prej kot babica, delci so sestavljeni iz pradelcev.

Števila izhajajo, so sestavljena iz praštevil.

Praštevila in sestavljena števila

  • Sestavimo število 6 iz števil 2 in 3

  • Sestavimo število 10 iz števil 2 in 5:
    10=2·5

Števili 6 in 10 smo sestavili kot produkt dveh naravnih števil večjih od 1.

Ali lahko tudi število 7 sestavimo kot produkt dveh naravnih števil večjih od 1? Ne.

Razmisli, ali lahko sestavimo kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil naslednja števila (če lahko, v okence vpiši "da", če jih ne moremo, vpiši "ne":

Pravilno

Naprej

Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!

Ponovno Rešitve Preskoči to nalogo

1. DA
2. DA
3. NE
4. DA

Delitelji

Opazujmo, koliko deliteljev imajo števila, ki jih lahko sestavimo kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil, in koliko deliteljev imajo števila, ki jih ne moremo sestaviti na tak način. Dopolni.

Se jih ne da sestavitiSe jih da sestaviti
številodeliteljištevilo deliteljev
31,32
51,5
111,
17, 172
311,
številodeliteljištevilo deliteljev
61,2,3,64
121,2,3,4,6,12
201,2,4, , 10, 20
91,3,
1,5,7,35


Preveri

Pravilno

Napačno

Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!

Rešitev

Se jih ne da sestavitiSe jih da sestaviti
številodeliteljištevilo deliteljev
31,32
51,52
111, 112
171, 172
311, 312
številodeliteljištevilo deliteljev
61,2,3,64
121,2,3,4,6,126
201,2,4, 5, 10, 206
91,3, 93
351,5,7,354

Delitelji

Koliko deliteljev imajo števila, ki se jih ne da sestaviti kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil? .



Koliko deliteljev pa imajo števila, ki jih lahko sestavimo? kot 2.


Preveri

Pravilno

Napačno

Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!

Rešitev

Števila, ki se jih ne da sestavilti imajo dva delitelja.

  • en izmed deliteljev je število 1
  • drugi delitelj je število samo


Števila, ki jih lahko sestavimo imajo več kot 2 delitelja.

Sestavljena števila, praštevila

 

SESTAVLJENA ŠTEVILA so števila, ki jih lahko sestavimo kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil. Imajo več kot dva delitelja (torej 3 delitelje, 4 delitelje,...).


PRAŠTEVILA so števila, ki se ji ne da sestaviti kot produkt dveh od 1 večjih naravnih števil. Imajo natanko 2 delitelja; število 1 in samega sebe.


ŠTEVILO 1 ima en sam delitelj (število 1) in ni ne sestavljeno število ne praštevilo.

Sestavljena števila, praštevila

Na naslednji konstrukciji razvrsti števila od 1 do 30 na praštevila, sestavljena števila ter števila z enim samim deliteljem. Ko boš vsa števila razvrstil pravilno, boš zagledal napis.

Aplikacija RiŠ se ni mogla zagnati. Prosim preverite, ali imate v brskalniku namescen program Java 1.4.2 (ali novejsi) (Kliknite tu za namestitev Jave)

Riš datoteka

Praštevila do 100

Praštevila do 100

(prastevila.jpg)
Praštevila so v rdečih poljih.

Eratostenovo sito

Eratostenovo sito je pripomoček za iskanje praštevil.


Koraki iskanja praštevil do 100:


V tabelo zapišemo vsa naravna števila do 100.

  • 1 prečrtamo, saj ni praštevilo
  • 2 (prvo neprečrtano število) je praštevilo, prečrtamo vse večkratnike števila 2
  • 3 (prvo neprečrtano število) je praštevilo, prečrtamo vse večkratnike števila 3
  • 5 (prvo neprečrtano število) je praštevilo, prečrtamo vse večkratnike števila 5
  • 7 (prvo neprečrtano število) je praštevilo, prečrtamo vse večkratnike števila 7
  • 11 (prvo neprečrtano število) je praštevilo. Ker je 112=121 in je večje od 100, v tabeli več ne najdemo neprečrtanih njegovih večkratnikov (npr. 711 že mora biti prečrtano, saj je večkratnk števila 7,...). Torej v tabeli ostanejo le še praštevila.

Eratostenovo sito

(era.gif)

Praštevilski razcep števila

Zapišimo število 6 kot produkt praštevil:



Zapišimo število 40 kot produkt praštevil:



Števili 6 in 40 smo zapisali kot produkt praštevil = razstavili na praštevila = razcepili na praštevila. Zato takšen zapis števila imenujemo praštevilski razcep.

Praštevilski razcep števila

 

Praštevilski razcep naravnega števila



kjer so praštevila, pa naravna števila, ki nastopajo v eksponentih.


Za vsako število lahko zapišemo praštevilski razcep na en sam način (če ne upoštevamo vrstnega reda praštevil).


(zgled.jpg)

Praštevilski razcep števila

Praštevilski razcep števila določamo s pomočjo tabele, oziroma navpične črte (glej animacijo spodaj):

  • Dano število zapišemo na levo stran črte.
  • Poiščemo praštevilo, ki deli dano število, in ga zapišemo na desno stran.
  • Na levi strani vrstico nižje zapišemo količnik števil nad njim.


Postopek ponovimo.

  • Poiščemo praštevilo, ki deli dobljen količnik, in ga zapišemo na desno stran.
  • Na levi strani vrstico nižje spet zapišemo količnik števil nad njim...


Postopek nadaljujemo dokler ne dobimo na levi strani števila 1.

Praštevilski razcep števila

Zdaj si na animaciji oglejmo, kako določimo praštevilski razcep števila 3080.


(pipi.gif)

Naloge

1. naloga

Naredimo praštevilski razcep števila 9945. Dopolni.


99453
33153
5
13
1717
1


Odgovor: .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.
Namig: Število na levi je količnik števil vrstico nad njim.

Rešitev

99453
33153
11055
22113
1717
1


Odgovor: 17.

Naloge

2. naloga

Naredimo praštevilski razcep števila 2142. Dopolni tako, da bodo praštevila na desni potekala od zgoraj navzdol od najmanjšega do največjega.

Praštevila: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

V takem vrstnem redu se sprašujmo:

  • Ali je število 2142 deljivo z 2? Je. Količnik je 1071.
  • Ali je 1071 deljivo z 2? Ni.
  • Ali je 1071 deljivo s 3? Je. Količnik je 357.
  • Ali je 357 deljivo s 3? ...
21422
10713
357
7


Odgovor: .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

21422
10713
3573
1197
1717
1


Odgovor: 17.

Naloge

3. naloga

Zapiši praštevilski razcep števila:


a) 150



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

(1a.PNG)

Naloge

3. naloga

Zapiši praštevilski razcep števila:


b) 120



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

(1b.PNG)

Naloge

3. naloga

Zapiši praštevilski razcep števila:


c) 700



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

(1c.PNG)

Naloge

4. naloga

Dokaži, da je vrednost izraza 4n+4 sestavljeno število za vsako naravno število


Pokaži rešitev Skrij rešitev

Izraz najprej razstavimo:



Ker je naravno število (1,2,3,..), je lahko enako 2, 3, 4,...
Vrednost izraza je tako produkt števila 4 in števila večjega ali enakega 2 in je zato sestavljeno število.

Naloge

5. naloga

Dokaži, je vrednost izraza 5n+15 za vsako naravno število sestavljeno število.


Pokaži rešitev Skrij rešitev

Izraz razstavimo:



Ker je n naravno število (1,2,3,..), je n+3 lahko enako 4, 5, 6,...

Vrednost izraza je tako produkt števila 5 in števila večjega ali enakega 4 in je zato sestavljeno število.

Naloge

6. naloga

Določi naravno število n tako, da bo vrednost izraza 11n-11 praštevilo.


Odgovor: n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig: Izraz najprej razstavi.

Rešitev

Izraz najprej razstavimo:

11n-11=11(n-1)

Če želimo, da bo 11(n-1) praštevilo, mora biti n-1 enako 1, sicer (npr. 11·2) dobimo sestavljeno število.

n-1=1

Torej mora biti n=2.

Naloge

7. naloga

Določi naravno število n tako, da bo vrednost izraza praštevilo.


Odgovor: n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Namig: Izraz najprej razstavi.

Rešitev

Izraz najprej razstavimo:


Če je n=1, je vrednost izraza enaka 0 in ni praštevilo.

Če je n=2, je vrednost izraza enaka 0 in ni praštevilo.

Če je n=3, je vrednost izraza enaka 2 in je praštevilo.

Če je n večji ali enak 4, je n-1 število večje ali enako 3, število n-2 pa večje ali enako 2. Torej dobimo produkt dveh od 1 večjih naravih števil. Za take n je vrednost izraza sestavljeno število.

Da bo vrednost danega izraza praštevilo, mora biti n=3.

Praštevil je neskončno mnogo

Dokaz trditve: Praštevil je neskončno mnogo.


Recimo, da obstaja končno mnogo praštevil (npr. 2, 3, 5, 7, 11)

Vsa praštevila pomnožimo in produktu prištejemo 1 ()


To število je lahko:

  • praštevilo

Ampak to število je zagotovo večje od vseh praštevil, ki obstajajo, in zato ne more biti praštevilo. Torej ta možnost odpade. (2311 ni praštevilo, saj so praštevila, ki obstajajo, le 2, 3, 5, 7, 11)

  • sestavljeno število

Ker smo k produktu vseh praštevil, ki obstajajo, prišteli 1, to število zagotovo ni deljivo z nobenim praštevilom. Ker to število ni deljivo z nobenim praštevilom, ne more biti sestavljeno število. Torej tudi ta možnost odpade. (2311 ni deljivo z 2, 3, 5, 7, 11, torej z nobenim praštevilom, ki obstaja, saj smo k produktu prišteli 1 in zato dobimo pri deljenju ostanek 1)


Ugotovili smo, da dobljeno število ni ne praštevilo, ne sestavljeno število, kar ne more biti res (razen za število 1, vendar je produkt vseh praštevil povečan za 1 zagotovo večji od 1). Torej smo na začetku napačno sklepali, da je praštevil končno mnogo.


Praštevil je tako neskončno mnogo.

Še nekaj o praštevilih

Strokovnjaki nenehno iščejo vedno večja praštevila.


Leta 2006 je bilo največje znano praštevilo


To število ima 9.808.358 števk. Če bi ga natisnili v knjigi, bi zanj porabili približno 4000 strani.

Še nekaj o praštevilih

Praštevila uporabljamo pri šifriranju podatkov.


Šifriranje sporočila = pretvorba sporočila v tako obliko, da ga "nezaželjene" osebe ne razumejo (uporablja se v bankah, v vojski, na spletu,...).


Šifriramo lahko na različne načine, tudi s pomočjo praštevil. Večje praštevilo pri šifriranju uporabimo, več dela bo imela nezaželjena oseba, da bo razvozlala naše sporočilo. Zato je odkrivanje velikih praštevil še kako pomembno.

Preveri svoje znanje

1. Število 39 je praštevilo.

2. 1 je najmanjše praštevilo.

3. Vsi praštevilski delitelji števila 15 so:



4. Praštevilski razcep števila 675 je enak:

5. Vrednost izraza 6n+36 je za vsako naravno število n:


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.
Pravilno si rešil od 5 vprašanj.

Rešitev

1. nepravilno
2. nepravilno
3. 3,5
4.
5. sestavljeno število

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

a) 75



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

b) 792



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

c) 110789



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

d) 20925



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

e) 20384



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

f) 20677



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 1

Zapiši praštevilski razcep števila:

g) 137677



Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Dodatne naloge 2

Od vsote vseh praštevil med 30 in 40 odštej vsa soda praštevila. Koliko dobiš?


Dobim .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Vsota praštevil med 30 in 40: 31 + 37 = 68
Edino sodo praštevilo je 2.
Račun: 68 − 2 = 66
Dobim 66.

Dodatne naloge 3

Izračunaj vsoto kvadratov vseh praštevil med 60 in 80. Koliko dobiš?


Dobim .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Vsota kvadratov:
Dobim 24821.

Dodatne naloge 4

Pokaži, da so vrednosti naslednjih izrazov za vsako naravno število n sestavljena števila in poveži.

Je sestavljeno število, saj je produkt števila 3 in števila večjega ali enakega 4.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila 5 in števila večjega ali enakega 21.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 3 in števila večjega ali enakega 7.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 15 in števila večjega ali enakega 2.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 2 in števila večjega ali enakega 5.

Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Je sestavljeno število, saj je produkt števila 3 in števila večjega ali enakega 4.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila 5 in števila večjega ali enakega 21.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 3 in števila večjega ali enakega 7.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 15 in števila večjega ali enakega 2.
Je sestavljeno število, saj je produkt števila večjega ali enakega 2 in števila večjega ali enakega 5.

Dodatne naloge 5

Za katera naravna števila n je vrednost izraza 7n − 7 praštevilo?


Za naravno število n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

7n − 7 = 7(n − 1)
Če je n=1, je vrednost izraza enaka 0, torej ne dobimo praštevila.
Če je n=2, je vrednost izraza enaka 7, torej je za n=2 vrednost izraza praštevilo.
Če je n večji ali enak 3, dobimo produkt števila 7 in števila večjega ali enakega 2, torej sestavljeno število.

Dodatne naloge 6

Za katera naravna števila n je vrednost izraza praštevilo?


Za naravno število n= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev


Če je n=1, je vrednost izraza enaka 0, torej ne dobimo praštevila.
Če je n=2, je vrednost izraza enaka 5, torej je za n=2 vrednost izraza praštevilo.
Če je n večji ali enak 3, dobimo produkt števila večjega ali enakega 10 in števila večjega ali enakega 2, torej sestavljeno število.

Dodatne naloge 7

Katero praštevilo moram kvadrirati, da dobim ravno njegov trinajstkratnik zmanjšan za 42?


Praštevilo p= .


Preveri

Pravilno

Napačno

Še enkrat poskusi.

Rešitev

Iskano praštevilo označimo s p.

Enačbo preoblikujemo:

Razstavimo:
(p − 6)(p − 7) = 0
Rešitvi te enačbe sta števili in
Naloga sprašuje po praštevilu, torej mora biti p = 7.

Rezultati

0%
0%