Uvod
| Kvadrat in kub dvočlenika smo se naučili izračunati po obrazcu. Ali obstaja tudi obrazec za sedmo potenco dvočlenika? Glede na to, da je že obrazec za kub dvočlenika kar zapleten, se pojavi vprašanje, ali je sploh smiselno iskati obrazce za višje potence dvočlenika. |
Na spodnji konstrukciji je kup opeke. Pozorno si oglej, kako so števila na opekah razvrščena, in poskušaj ugotoviti po kakšnem vzorcu si sledijo. Na vsako prazno opeko prilepi listič s tako številko, da boš nadaljeval vzorec.
Na vseh zunanjih opekah so enice. Številko na opeki dobiš tako, da sešteješ številki obeh opek nad njo.
1. Primer: glej drugo opeko tretje vrstice:
2. Primer: glej tretjo opeko četrte vrstice:
3. Primer: glej drugo opeko šeste vrstice:
Predstavljaj si, da zgornji kup opeke nadaljujemo navzdol tako, da mu dodamo še eno vrstico. Katero število bi pisalo na tretji opeki dodane vrstice?
Pokaži odgovor
Če bi dodali spodaj še eno vrstico, bi nad tretjo opeko bili opeki s številoma in , zato bi na njej pisalo .
Pascalov trikotnik
Kaj je Pascalov trikotnik?
| Pascalov trikotnik je trikotnik sestavljen iz števil. Na vrhu je eno samo število in sicer število 1, v drugi vrstici sta dve števili in tako v vsaki naslednji eno število več. Vsa leva skrajna in desna skrajna števila so enice. Vsa preostala števila pa dobimo tako, da seštejemo števili nad iskanim številom. Pascalov trikotnik se nadaljuje navzdol poljubno daleč. |
Izziv: Te četrta in peta vrstica spominjata na kvadrat in kub dvočlenika? Kako?
Potence dvočlenika
Izračunajmo nekaj potenc dvočlenika in jih zapišimo v skrčeni obliki:
Povezava Pascalovega trikotnika in koeficientov pri potenciranju dvočlenika
Primerjajmo Pascalov trikotnik s koeficienti pri potenciranju dvočlenika. Kaj ugotovimo?
Opazimo, da vrstice Pascalovega trikotnika podajajo zaporedne koeficiente členov v razvoju potence dvočlenika.
Zakaj to drži?
Zakaj so koeficienti pri kubu dvočlenika res ?
Torej smo koeficiente pri kubu res dobili po Pascalovem trikotniku in sicer tako, da smo sešteli sosednje koeficiente vrstice višje:
Koeficienti vrstice višje:
Koeficienti kuba dvočlenika:
Zakaj so koeficienti pri četrti potenci dvočlenika res ?
Torej smo koeficiente pri četrti potenci res dobili po Pascalovem trikotniku in sicer tako, da smo sešteli koeficiente vrstice višje.
Koeficienti vrstice višje:
Koeficienti kuba dvočlenika:
Na podoben način dokažemo, da dobimo koeficiente poljubne potence s pomočjo Pascalovega trikotnika.
Eksponenti prvega in drugega člena pri potenciranju dvočlenika
Spomnimo se potenc. Potenca je sestavljena iz osnove in eksponenta. V naslednji tabeli opazujmo eksponente potence, ki ima osnovo enako .
| eksponent pri -u je | |
| eksponent pri -u je , saj je | |
| (ni -a) | eksponent pri -u je , saj je |
Eskponenti pri prvem členu
Na spodnji sliki opazuj eksponente prvega člena dvočlenika, torej -a.
Na zgornji sliki opazuj potence dvočlenika. Razmisli, kolikšni so v posameznih členih eksponenti x-a, ki je prvi člen dvočlenika.
Kvadrat dvočlenika: eksponenti pri -u:
Kub dvočlenika: eksponenti pri -u: ,2,1,0
Četrta potenca: eksponenti pri -u: , , , ,
Devetnajsta potenca: eksponenti pri -u: , , ,...,
Pravilno
Eksponenti pri drugem členu
Na spodnji sliki opazuj eksponente drugega člena dvočlenika, torej -a.
Na zgornji sliki opazuj potence dvočlenika. Razmisli, kolikšni so v posameznih členih eksponenti y-a, ki je drugi člen dvočlenika.
Kvadrat dvočlenika: eksponenti pri -u:
Kub dvočlenika: eksponenti pri -u: ,
Četrta potenca: eksponenti pri -u: , ,, ,
Devetnajsta potenca: eksponenti pri -u: , ,
Pravilno
Potencirajmo!
Potencirajmo .
3. Potenciramo: |
|
Pravilno
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
a)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente tretje potence:
koeficienti: 1,3,3,1
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
b)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
koeficienti:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
Potencirajmo!
Potencirajmo .
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
3. Potenciramo:
Pravilno
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
a)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
b)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente tretje potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
c)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente četrte potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
d)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
Potencirajmo!
Potencirajmo .
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente šeste potence:
koeficienti: , , , , , ,
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
eksponenti pri : , , , , , ,
eksponenti pri : , , , , , ,
3. Potenciramo:
Preveri
Pravilno
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
a) =
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente tretje potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
b)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente četrte potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
c)
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
a) =
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente pete potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
b) (-1+x^{n+1})^3=
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente tretje potence:
koeficienti:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
c) (x^{n+3}+xy^2)^4=
1. Iz Pascalovega trikotnika odčitamo koeficiente četrte potence:
2. Določimo eksponente prvega in drugega člena:
Preveri svoje znanje 1
Pascalov trikotnik uporabljamo pri računanju potenc binoma. Ustrezna vrstica nam pove koeficiente členov pri potenciranju dvočlenika.
V okence vpiši "P", če je trditev pravilna in "N", če je trditev nepravilna:
Preveri
Pravilno
Odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Preveri svoje znanje 2
Pravilno
Odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Preveri svoje znanje 3
Pravilno
Odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Preveri svoje znanje 4
Pravilno
Odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Preveri svoje znanje 5
Pravilno
Odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Dodatne naloge
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Dodatne naloge 2
g)
| i)
|
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Dodatne naloge 3
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Dodatne naloge 4
Pravilno
Vsaj en odgovor je žal napačen. Poskusi ponovno!
Dodatne naloge 5
Od pete potence razlike števil in odštej razliko petih potenc števil in .
a) Zapiši izraz.
b) Poenostavi izraz.
c) Izračunaj vrednost izraza če je .
Pravilno
