Protislovje in dokaz s protislovjem

Protislovje in dokaz s protislovjem

Avtor: Skupina NAUK

Uvod

Manca in Jaka sta imela naslednji pogovor:

(manca_ne_mara.png)

Kaj lahko povemo o Mančini izjavi?

Preveri

Želite naprej k nalogam iz tega poglavja?

Naloge

Premislite! Ne moremo hkrati nekoga imeti radi in ga ne marati. Izjava zato nima smisla.

Naprej

Tako je! Ne moremo hkrati nekoga imeti radi in ga ne marati. Izjava zato nima smisla.

Naprej

Definicija

Izjavi, v kateri trdimo med seboj nasprotne stvari, pravimo protislovna izjava oziroma protislovje.

Primeri protislovnih izjav so:

  • Albert ima brata Antona, vendar je Anton sin edinec.
    Če sta Anton in Albert brata, potem ne more biti Anton edinec, zato je ta izjava protislovna.
  • Danes je lep snežni zimski dan in zunaj je 32°C.
    Če je danes zimski dan, potem je zunaj mraz in ni poletne vročine. Ker ne more biti hkrati vroče in snežiti, je zgornja izjava protislovna.
  • Jaka si želi pilotirati letalo in ga je strašno strah poletov.
    Če se Jaka boji poletov, verjetno ne želi sam pilotirati letala.
(jaka_boeing.png)

Želite naprej k nalogam iz tega poglavja?

Naloge

Dokaz s protislovjem

V logiki in matematiki je pogosti način dokazovanja trditev s pomočjo protislovja.

Recimo, da želimo dokazati neko trditev A. Potem predpostavimo, da A ne velja in poskusimo s sklepanjem priti v protislovje. To potem pomeni, da je začetna predpostavka (A ne velja) napačna, zato mora A veljati.

(jaka_protislovje.png)

Želite naprej k nalogam iz tega poglavja?

Naloge

Primer

Poglejmo reševanje naloge z dokazom s protislovjem pri naslednji nalogi:

Na zelo posebnem otoku živita dve vrsti ljudi, in sicer vitezi in oprode. Vitezi vedno govorijo resnico, oprode pa vedno lažejo.

Na otoku srečamo dva prebivalca Tomaža in Petra.

Peter reče: "Tomaž je oproda."
Tomaž reče: "Oba sva viteza."

Kaj lahko rečemo za Petra?

Preveri

Odlično! Izbrani odgovor je pravilen.

Naprej

Izbrani odgovor ni pravilen.

Naprej

Razlaga

Poglejmo, kako za reševanje te naloge uporabimo protislovje.

Npr. da želimo pokazati, da je Peter vitez. Potem predpostavimo nasprotno, tj. da je Peter oproda.

Sedaj poskusimo s sklepanjem priti do protislovja. Če je Peter oproda, potem zmerom laže in je njegova izjava, da je Tomaž oproda, nepravilna. Torej je Tomaž vitez. Vendar Tomaž pravi, da sta tako on kot Peter oprodi. To pa ni res, saj je Tomaž vitez. Dobili smo protislovje. Začetna predpostavka, da je Peter oproda, torej ne more biti pravilna. S tem smo pokazali, da je Peter vitez.

Pokažimo še, da v primeru, če predpostavimo, da je Peter vitez, ne pridemo v protislovje.

Če je Peter vitez, potem je njegova izjava, da je Tomaž oproda, pravilna. Tomaževa izjava, da sta oba oprodi, je nepravilna, torej je Tomaž res oproda, Peter pa vitez.

Naloge

Katera izmed naslednjih izjav ni protislovna?

Preveri

Rešitev

Odgovori niso pravilni. Poskusite ponovno!

Ponovno

Super! Uspešno ste rešili nalogo!

Naprej

Rešitev

  • Lahko se zgodi, da zunaj sije sonce in hkrati dežuje. V tem primeru lahko vidimo celo mavrico. Prva izjava zato ni protislovna.
  • Sneg je tudi padavina, zato ne moremo hkrati imeti padavin in biti brez njih. Druga izjava je protislovna.
  • Če razred uspešno opravimo, pomeni, da ga ne ponavljamo. Ker ne moremo hkrati ponavljati in ne ponavljati razreda, je tretja izjava protislovna.
  • Z nekom, ki ga ne maramo, ne moremo biti resnični prijatelji, zato je izjava protislovna.

Naloge

S pomočjo dokaza s protislovjem rešite naslednjo nalogo:

Prisluhnimo pogovoru dveh otočanov Blaža in Jureta.

Blaž: "Jure je oproda."
Jure: "Nihče od naju ni oproda."

Kaj je Blaž?

Preveri

Rešitev

Rešitev

Odlično! Nalogo ste pravilno rešili.

Izbrani odgovor ni pravilen. Poskusite ponovno.

Rešitev

Poglejmo najprej Juretovo izjavo. Ta pravi, da sta tako on kot Blaž viteza (oziroma nista oprodi). Ampak v tem primeru je Blaževa izjava nepravilna, kar pa je v protislovju s tem, da je Blaž vitez.

Primoževa izjava torej ni pravilna, kar pomeni, da je Jure oproda. Potem pa je Blaževa izjava pravilna, torej je Blaž vitez.

Odgovor: Blaž je vitez.

0%
0%